Участники шахматного турнира играют в зале где имеются 8 столиков
Обновлено: 17.05.2024
1. It is difficult to choose a profession ___ more than 2000 existing ___ the world. 2. ___ the moment I am a sophomore. 3. He works ___ the field ___ justice. 4. Lawyers are ___ great demand now. 5. To become a qualified specialist, one should study ___ a long time. 6. We have a highly qualified teaching staff ___ our college. 7. My favourite subjects are of course the subjects concerned ___ my future profession. 8. I take part ___ scientific research work, intellectual, sporting and creative competitions. 9. ___ graduating ___ college I would like to continue my education ___ an institute.
2.Find English equivalents for the following words and word-combinations in the text:
1. выбрать специальность, 2. дело престижа и финансового благополучия, 3. создавать правовое государство, 4. подготовить юридические документы, 5. предотвращать преступления, 6. самостоятельная жизнь, 7. продолжить образование, 8. общество, 9. последовать совету, 10. защищать права и интересы, 11. составить завещание, 12. внимательный к людям, 13. быть очень востребованным, 14. стать квалифицированным специалистом, 15. приносить пользу, 16. сделать успешную карьеру.
Finishing school is the beginning of the independent life for millions of school-leavers in our country. Many roads are open before them. Numerous educational establishments in our city offer the young people a wide choice of faculties and departments where they can get their professional knowledge and develop talents. Though it is difficult to choose a profession out of more than 2000 existing in the world I made my choice long ago.
I think all professions are good and the main thing is to do something useful. As for me I want to become a lawyer. Thinking about what I would like to devote myself to I mostly followed my father’s advice. He works in the field of justice and is making a successful career. He supposes the right choice of one’s future trade is the matter of prestige and wealth.
No doubt, lawyer is one of the noblest, most important, responsible and best-paid professions in the modern world. Lawyers are in great demand in the law-governed state which we are creating now. Lawyers solve many problems in our society. They deal with all the day-to day work of preparing legal documents for buying and selling houses, making wills, they prepare their clients’ defence if they get into trouble with police and argue their court cases. They represent their clients at a court when the case is one of divorce or recovering some debts. The duty of the lawyer is not only to punish people for crimes but they do their best to prevent crimes. The lawyers protect the rights and legal interests of citizens and the whole organizations. They are widely engaged in politics, economy, administration and other spheres and their number is rapidly increasing.
One should study for a long time, pass a great number of examinations and have enough practice to become a qualified specialist and to start one’s own business.
At the moment I am a sophomore of the full-time department of the Khabarovsk Trade and Economy College and my speciality is Law and Organizing Social Welfare. I am sure that I made the right decision when I entered this college. Here, I made new friends among my groupmates and students of senior course. I study with great pleasure because since my schooldays I have been very interested in social sciences. We have a highly qualified teaching staff at our college that carries on research work and applies new educational technologies. The course of training lasts for 3 years and is professionally oriented. My favourite subjects are History, Informatics, English language and of course the subjects concerned with my future profession. As an advanced student I take part in scientific research work, intellectual, sporting and creative competitions in order to get a profound knowledge and to develop my abilities. I suppose I have all qualities needed to get a good lawyer. I am honest, responsible, disciplined, well-mannered, kind and attentive to people. After graduating from my college, I would like to continue my education at an institute or university.
Участники шахматного турнира играют в зале где имеются 8 столиков
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ РЕГИОНАЛЬНЫЙ УЧЕБНЫЙ ОКРУГ
Конкурс исследовательских работ учащихся
«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ (ИННОВАЦИОННОЕ)
БУДУЩЕЕ МОРДОВИИ »
«Легкий путь в комбинаторике»
Автор работы: Панкратова Александра
МОУ «Лицей №4», 11 класс
Научный руководитель:
Бодрикова С.В., учитель математики
Саранск 2012
Информационная страница
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №4»
Ф.И.О. автора работы –
Почтовый адрес автора –
г. Саранск, ул. Б.Хмельницкого, 57
47-47-80; 47-67-78
Панкратова Александра Витальевна
430011, Республика Мордовия,
г. Саранск, ул. Ст.Разина, 23-115
ученицы 11 класса МОУ «Лицей №4» г. Саранск Панкратовой А.
«Легкий путь в комбинаторике»
В ЕГЭ встречаются задачи, связанные с подсчетом числа вариантов. Эта тема сложна для восприятия и понимания, но в то же время она распространена во многих отраслях жизнедеятельности человека. В связи с этим была поставлена цель: разработать схему, с помощью которой можно легко, быстро и безошибочно определить тип комбинаций, которые необходимо искать в задаче. Для достижения цели были предприняты следующие шаги:
1) изучить историю возникновения и развития комбинаторики;
2) изучить основные понятия;
3) систематизировать эти понятия и составить схему, с помощью которой можно определить тип комбинации;
4) применить схему для решения задач.
Практическая значимость заключается в том, что каждый может применить полученную схему на практике, придя к верному и обоснованному результату.
С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому–химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.
Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен». По мнению ее авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а так же восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времен неизменно вызывали магические квадраты.
Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается еще в сутрах древней Индии. Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Во II веке до н.э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна 2 n .
Античные греки так же рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Хрисипп и Гиппарх подсчитывали, сколько следствий можно получить из 10 аксиом. Методика подсчета нам неизвестна, но у Хрисиппа получилось более миллиона, а у Гиппарха – более 100000. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Какие-то комбинаторные правила пифагорейцы. Вероятно, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки и др.).
В XII веке индийский математик Бхаскара в своем основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.
В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра и Леви бен Гершом (он же Герсонид). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчета и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.
Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» Фибоначчи. Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.
Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались и продолжают использоваться в криптографии – как для разработки шифров, так и для их взлома.
Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке, Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.
В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался раньше). Бернулли использовал и термин «размещение».
После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и рядя аналитических задач.
Окончательно комбинаторика как самостоятельных раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:
задача о ходе коня;
задача о семи мостах, с которой началась теория графов;
построение греко-латинских квадратов;
обобщенные перестановки.
В начале ХХ века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского – Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука – Улама и Люстерника – Шнирельмана. Во второй четверти ХХ века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона – Эрдёша – Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины ХХ века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.
Правило суммы и правило произведения, и понятие выборки
Число размещений без повторений и с повторениями
Сочетания с повторениями с дополнительными условиями. Метод координат. Подсчет числа путей
Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A1, А2, …, An, содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих подмножеств, равно m1+m2+…+mn.
Пример. Если на первой полке стоит Х книг, а на второй Y, то выбрать одну книгу с первой или второй полки можно X+Y способами.
Правило произведения: пусть имеется n множеств A1, А2, …, An, содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества равно m1m2…mn.
Пример. Если на первой полке стоит Х книг, а на второй Y, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно XY способами.
Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные.
В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют его элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.
Пример 1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524, … и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 – разные числа.
Пример 2. Из 28 конфет нужно выбрать всего две. Любая пара конфеток представляет собой неупорядоченную двухэлементную выборку, так как порядок их выбора неважен.
Сразу возьмем по одному элементу указанного типа, и тогда уже сразу окажутся заняты r мест. Остальные k-r мест можно заполнять элементами прежних n типов.
Задачи на размещения, сочетания, перестановки без повторения
В понедельник у школьников 10 класса должно состояться 5 уроков. Сколько возможно вариантов расписания, если в этот день возможно проведение уроков по 11 дисциплинам?
Экспертная комиссия института по проведению экспертизы и выдачи соответствующего заключения о возможности опубликования научных работ состоит из председателя, его заместителя и еще 5 человек – членов комиссии. Сколькими способами 7 человек, избранных в комиссию могут распределить между собой обязанности?
Команда старшеклассников по сноубордингу из 5 человек выступает на соревнованиях, в которых принимают участие еще 20 спортсменов. Сколько существует вариантов распределения мест (с 1 по 25), занятых членами этой команды.
Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
Сколько семибуквенных слов можно образовать из букв слова «гипотенуза»? Под словом понимается любая комбинация букв без повторений в слове.
В соревновании по серфингу участвуют 10 команд. Сколько существует у этих команд различных возможностей занять первые 3 призовых места?
Сколькими способами можно обозначить вершины конкретного треугольника, используя буквы А, В, С, D, Е; четырехугольника, используя буквы A, B, C, D, E, F?
В студенческий профсоюзный комитет избрали 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя, председателя комиссии по воспитательной работе, председателя комиссии по волонтерскому движению. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Решить ту же задачу при условии, что одна из полос должна быть красной.
Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков (русского, английского, французского, немецкого, итальянского) на любой из этих 5 языков? На сколько, больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10?
В классный журнал необходимо вписать фамилии учащихся. Сколько существует способов составления списка из 30 учеников?
На полке следует разместить учебники по географии, истории, алгебре, химии и литературе. Сколько существует вариантов размещения книг на полке ?
Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, 9, в которых цифра 0 занимает третье место, цифра 4 — пятое место, цифра 7 — седьмое место?
Участники шахматного турнира играют в зале, где имеются 8 столов. Сколькими способами можно расположить шахматистов при проведении очередного тура? Пары соперников и цвет фигур каждого игрока однозначно определяются правилами соревнований.
Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, 9, в которых цифра 6 следует непосредственно за цифрой 9?
Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была 4; 2) число начиналось с 23?
На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А? Решить ту же задачу, но А должен выступить непосредственно перед Б.
Имеется n точек на плоскости. Сколько отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?
На окружности отмечено n точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Сколько окружностей можно провести через 10 точек на плоскости, из которых никакие 4 не лежат на одной окружности и никакие 3 не лежат на одной прямой?
Собрание, на котором присутствуют 30 человек, в том числе 2 женщины, выбирает 4 человек для работы на избирательном участке. Сколько существует таких способов, когда в число избранных войдут обе женщины?
Сколько существует треугольников, вершины которых являются вершинами данного выпуклого шестиугольника?
На плоскости проведено n прямых линий, из которых никакие 2 не являются параллельными и никакие 3 не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?
Садовник должен в течение 3 дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее 1 дерева в день?
Из отряда солдат в 50 человек ежедневно назначают в караул 4 человека. Сколько раз караул может быть составлен различным образом и сколько раз одному и тому же солдату пришлось бы быть в карауле?
Из 30 членов спортивного клуба надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами можно это сделать? Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100 м + 200 м + 400 м + 800 м?
Сколько всего было подарено фотографий, когда в конце совместного отдыха 5 человек решили оставить на память друг другу свои фотокарточки?
В мотострелковом взводе 4 отделения по 8 солдат. Выбираются 4 солдата для участия в полковых соревнованиях по рукопашному бою. Сколько существует способов выбора команды, чтобы хотя бы один солдат был из первого отделения?
Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом? При каких условиях задача разрешима?
На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом? Тот же вопрос, если всего книг n, а выбрать нужно k. При каких условиях задача разрешима?
Тип 4 № 508870Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.
Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна
Аналогично, вероятность события C:
Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:
Теперь найдём искомую вероятность:
Приведем другое решение.
В первом туре турнира участвуют 16 игроков, разбить их на произвольные пары можно способами. Пусть n — число всех возможных вариантов прохождения игр турнира. В первом туре встречаются 8 пар игроков, поэтому во всех возможных n вариантах первого тура может быть 8n пар. Все эти пары равновозможны, поэтому вероятность того, что одну из них составляют два выбранных игрока равна то есть
Если выбранные игроки не встретились в первом туре, они могут встретиться во втором. В нем примут участие 4 команды, вероятность встречи игроков равна или
В третьем туре примут участие 4 человека, из них можно составить две пары, в четвертой игре участвуют 2 человека, пара только одна; искомые вероятности суть и соответственно.
Перечисленные события несовместны, поэтому искомая вероятность равна
Решим задачу в общем виде.
Пусть в турнире по олимпийской системе (игра навылет, плей-офф) участвуют n игроков (n — степень двойки, всего в турнире проводится n −1 игра). Разбить n игроков на произвольные пары можно Для каждого возможного турнира построим дерево игр, в вершинах которого укажем имена двух встретившихся в соответствующей игре игроков. Любая пара игроков в турнире может сыграть друг с другом не больше одного раза. Выберем один из турниров, рассмотрим событие, состоящее в том, что двое наперед выбранных игроков встретились в первой игре первого тура. Вероятность этого события равна 1/k, то есть Выбираем вторую игру первого тура, третью и так далее до последней n −1 -ой игры последнего тура. Эти события равновероятны и несовместны, а потому искомая вероятность их суммы равна
В шашечном турнире участвуют 8 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
Читайте также: