Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так

Обновлено: 16.05.2024

  1. На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? (Ответ: 49).
  2. На вершину горы ведет n дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск должен осуществляться различными дорогами? (Ответ: n(n-1)).
  3. Сколькими способами можно разложить n различных шаров по m различным урнам. (Ответ: m n ).
  4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5? (Ответ: 125).
  5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза? (Ответ: 60).
  6. Найти количество чисел от 0 до 999999, в записи которых встречается «1», и в записи которых ее нет. (Ответ: 468559, 531441).
  7. Сколько существует чисел от 0 до 999999, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры? (Ответ: 597871).
  8. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5? (Ответ: 18000).
  9. Сколько имеется двузначных чисел, у которых обе цифры четные? (Ответ: 20).
  10. Сколько имеется пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные? (Ответ: 3125).
  11. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть автоматическую камеру хранения с пятизначным номером? (Ответ: 100000).
  12. Человек забыл пятизначный номер автоматической камеры хранения. Он только помнит, что в номере были числа 17 и 78. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру? (Ответ: 60).
  13. Сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник? (Ответ: n(n-3)/2).
  14. Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества . (Ответ: 2 mn ).
  15. В комнате 6 лампочек, каждая имеет свой выключатель, сколькими способами можно осветить комнату? (Ответ: 63).
  16. Сколькими способами можно усадить 7 гостей на 7 стульях? (Ответ:5040).
  17. Сколькими способами можно разместить в аудитории 10 человек, если есть 10 мест? (Ответ:3628800).
  18. Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные m элементов не стоят рядом в любом порядке? (Ответ: n!-m!(n-m+1)!).
  19. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? (Ответ: 2(n!) 2 ).
  20. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? (Ответ: 45).
  21. На плоскости поставили 5 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько всего отрезков получилось? (Ответ: 10).
  22. На плоскости поставили n точек. Каждые две точки соединили направленным отрезком. Сколько направленных отрезков получилось? (Ответ: n!/(n-2)!).
  23. В группе из 30 студентов каждый пожал руку всем остальным. Сколько было рукопожатий? (Ответ: 435).
  24. Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества при условии, что строки каждой матрицы должны быть попарно различны. (Ответ:
  25. Сколькими способами можно избрать президиум для ведения собрания в группе из 25 человек, если в президиум входят: председатель, секретарь и член президиума? (Ответ:13800).
  26. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два? (Ответ: 30).
  27. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки различные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник? (Ответ: 151200).
  28. У англичан принято давать детям несколько имен. Два способа, различающиеся лишь порядком имен, считаются различными. Пусть ребенку дают не более трех имен, а общее число имен равно 300. Сколькими способами можно назвать ребенка, если все данные ему имена различны, и если имена могут повторяться? (Ответ: 26820600, 27090300).
  29. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «мама»? (Ответ: 6).
  30. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»? (Ответ: 389188800).
  31. Для премирования трех студентов купили 12 различных книг. Сколько возможных способов распределения книг по 4 каждому студенту? (Ответ: 34650).
  32. Сколькими способами множество из n элементов может быть разбито на m подмножеств, из которых первое содержит k1 элементов, второе k2 и т.д. (Ответ: n!/(k1!k2. km!)).
  33. Сколькими способами можно разложить n=k1+k2+. +km различных шаров по m различным урнам так, чтобы в первую урну попало k1 шаров, во вторую – k2 и т.д., в m-ю – km шаров? (Ответ: n!/(k1!k2. km!)).
  34. Найти число способов размещения n различных шаров по m различным урнам так, чтобы m1 урн содержали по p1 шаров, m2 – по p2 и т.д., mk урн по pk шаров (m=m1+m2+. +mk, n=m1p1+m2p2+. +mkpk). (Ответ:
  35. Найти число способов размещения n различных шаров по m урнам так, чтобы m1 урн содержали по p1 шаров, m2 – по p2 и т.д., mkурн по pk шаров (m=m1+m2+. +mk, n=m1p1+m2p2+. +mkpk), если урны содержащие одинаковое число шаров неразличимы. (Ответ:
  36. Дано m предметов одного сорта и n предметов другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s – другого. (Ответ:
  37. В группе из 22 студентов 6 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать 5 человек так, чтобы среди них были 2 девушки и 3 юноши? (Ответ: 525).
  38. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов? (Ответ:
  39. Коалиции A и B ведут войну между собой; n нейтральных государств находятся в нерешительности, причем p из них не присоединяются к A, а k не присоединяются к B. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения нейтральных государств. (Ответ: 2 k 2 p 3 n - k - p -1).
  40. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу, т.е. на них должны быть одинаковые числа? (Ответ: 147).
  41. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не атаковали друг другу, т.е. чтобы никакие две из них не стояли на одной вертикали или горизонтали? (Ответ: 40320).
  42. Занумеруем слева направо первый горизонтальный ряд клеток шахматной доски числами от 1 до 8, второй – от 9 до 16 и т.д. Докажите, что сумма номеров клеток, на которых стоят 8 ладей, не атакующих друг друга всегда равна 260.
  43. Пусть L=(m,n) – точка с натуральными координатами на целочисленной решетке. Найти число «монотонных» траекторий, ведущих из начала координат в точку L. Под монотонной понимается траектория, на каждом шаге которой можно идти либо вправо, либо вверх. (Ответ:
  44. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг n, а в направлении с востока на запад k. Сколько имеется кратчайших дорог из самой крайней юго-западной точки города до крайней северо-восточной (от одной из вершин прямоугольника до противоположной)? (Ответ:
  45. Пусть в городе, о котором речь шла в предыдущей задачи, квадратов в направлении с востока на запад в m раз (m – целое) больше чем в направлении с севера на юг. Все кратчайшие дороги из крайней юго-западной точки до крайней северо-восточной можно разделить на два класса: пути, у которых первое звено ведет на восток, и пути, у которых первое звено ведет на север. Во сколько раз путей, у которых первое звено ведет на восток больше чем путей, у которых первое звено ведет на север? (Ответ: в m раз).
  46. Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является целым неотрицательным числом? (Ответ:
  47. Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является натуральным числом? (Ответ:
  48. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом? (Ответ:
  49. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза? (Ответ: а) в) ).
  50. Исходя из комбинаторных соображений, доказать, что следующие числа целые: .
  51. Чему равно значение
  52. Чему равно значение
  53. Чему равно число композиций 7?
  54. Чему равно число композиций 8?
  55. Чему равно число композиций 6 из 3 частей, если элементы композиции являются натуральными числами?
  56. Чему равно число композиций 6 из 5 частей, если элементы композиции являются натуральными числами?
  57. Чему равно число композиций 6 из 3 частей, если элементы композиции являются целыми неотрицательными числами?
  58. Чему равно число композиций 6 из 4 частей, если элементы композиции являются целыми неотрицательными числами?

article image

article image

article image

article image

article image

article image

article image








От покупки пива и водки ты станешь беднее, а от покупки книги - умнее. © Александр Дьяков ==> читать все изречения.

07. Перестановки

Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.

Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно

Пример 5.1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем

P6P4 = 720×24 = 17280.

Пример 5.2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?

Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно

4! – 3! = 3×3! = 3×1×2×3 = 18.

Пример 5.3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем

Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.

Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?

5.1. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.

Ответ:

5.2. Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т. к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?

5.3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?

5.4. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

5.5. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?

5.6. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?

5.7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

5.8. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.

Очень нужна помощь по решению задач комбинаторики

1. Металлург, изучающий сплавы, при проведении исследования использовал 2 различных температурных режима, 6 режимов остывания, 4 различные присадки. Сколько экспериментов он сделал?

2. В одном из отделов научно-исследовательского института работают несколько человек, каждый из которых знает хотя бы один иностранный язык, причем 6 человек знают английский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают английский и немецкий, 3 — немецкий и французский, 2 — французский и английский, а один из них знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько человек знает только один иностранный язык? Дайте иллюстрацию решения на диаграмме Эйлера—Венна.

3. Сколько можно составить различных сигналов из 7-ми цветов радуги, взятых по 2?

4. В вазе лежат 10 бананов, 20 груш и 10 плодов красной хурмы. Сколькими способами можно выбрать 5 фруктов одного цвета?

5. Сколькими способами можно выбрать 2 стандартные и 1 нестандартную детали из 40 деталей, среди которых имеются 10 нестандартных?

7. Десять групп располагаются в 10 расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписаний, при которых группы А и В находились бы в соседних аудиториях?

8. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

9. Сколькими способами могут поразить 3 мишени 5 стрелков?
10. Сколькими способами 10 одинаковых монет можно разложить по 5-ти различным отделениям кошелька так, чтобы ни одно из отделений не было пустым?

1. Правило умножения: 2*6*4 = 48 различных вариантов проведения эксперимента(на каждый из двух температурных режимов 6 режимов остывания и для каждого из 2*6 = 12 режимов температуры-остывания можно использовать 4 различные присадки).

2. Правило включений - исключений |A+B+C| = |A| + |B| +|C| - |AB| - |BC| - |AC| + |ABC|.
Где A - множество сотрудников, владеющих английским, B - немецким, C - французким; AB, BC, AC, ABC - пересечения соответствующих множеств, а A+B+C - их объединение; |A| - мощность множества, то есть в данном случае - количество его элементов.
Итак:
в отделе работают 6 + 6 + 7 - 4 - 3 - 2 + 1 = 11 человек;
только одним иностранным языком владеют:
- только английским 6 - 4 - 2 + 1 = 1,
- только немецким 6 - 4 - 3 + 1 = 0,
- только французким 7 - 3 - 2 + 1 = 3,
то есть 3 + 1 = 4 человека.

3. Будем считать, что порядок цветов в сигнале имеет значение, тогда существует A 2 7 = 7*6 = 42 сигнала.

4. Бредовое, конечно, условие, но будем считать, что бананы и груши одинакового цвета (желтого или зеленого). Тогда выбрать пять фруктов одного цвета можно C 5 10+20 + C 5 10 способами. (C k n - сочетания из n элементов по k).

5. Сочетания + правило умножения:
C 2 40-10 *C 1 10 = C 2 30 * 10 = 30*29/2 * 10 = 4350.

7. Группы А и В можно условно "объединить в один элемент расписания" и переставлять вместе. То есть число различных расписаний равно числу перестановок з 10-1 =9 элементов, то есть 9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880.

8. Разместить поочередно за круглым столом 7 мужчин и 7 женщин "не взирая на лица" можно только одним способом. Но если учесть, что речь идет о разных людях, то в рамках этого одного способа существует 7! перестановок женщин для каждой из 7! перстановок мужчин. Ответ 7!*7!.

9. Условие с кучей недомолвок. Стрелки делают по одному встрелу? Мишень можно поражать более одного раза? И т. д.

21. Задачи

Е)

Ответ: а) .

А) Б) В) Г) Д)

Ответ: а) ; в) ; д) .

3. Решить уравнения (nÎ¥):

Ответ: а) 8; б) 4; в) 10; г) 8; д) 5; е) 4.

4. Найти все n΢, удовлетворяющие условию:

5. Доказать справедливость равенств:

6. Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить:

Ответ: а)

Б) ;

7. Найти средние члены разложения:

Ответ: а) ; б)

8. Решите уравнения:

А) в)

Ответ: а) 4; б) 5; в) 9.

9. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. а) Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? б) То же самое, но меняются две книги одного на две книги другого.

Ответ: а) .

10. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. а) Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? б) семь человек? в) Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются соседями? г) Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?

Решение: а) Отношение соседства сохраняется при циклических перестановках и при симметричном отражении. В случае четырех человек мы имеем 2×4=8 преобразований, сохраняющих отношение соседства. Т. к. общее число перестановок 4 человек равно 4!=24, то имеем 24/8=3 различных способа рассадки.

Б) Если за столом сидят 7 человек, то имеем 7!/14=360 способов, вообще, а в случае n человек (n–1)!/2 способов.

В) Число способов, при которых 2 данных человека сидят рядом, вдвое больше числа способов посадить 6 человек (в силу возможности поменять этих людей местами). Значит оно равно Г) Находится аналогичным образом:

11. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Если они садятся не за круглый стол, а за карусель и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими.

Ответ: .

12. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

Ответ: , .

13. В купе ж/д вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной, остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

Решение: Сначала выберем, кто из трех пассажиров, кому безразлично как сидеть, сядет лицом к паровозу. Этот выбор можно сделать 3 способами. На каждом диване можно пересаживать пассажиров 5! Способами. Всего получаем

14. У мамы 2 одинаковых яблока и 3 одинаковых груши. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. а) Сколькими способами это можно сделать? б) Если яблок m, а груш n. в) 2 яблок,3 груши, 4 апельсина.

Ответ: а) , в)

15. У отца есть 5 различных апельсинов, которые он выдает своим 8 сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? Решите эту задачу при условии, что число апельсинов, получаемых каждым сыном, неограниченно.

Ответ: .

16. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин. Надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не меньше 2 женщин. Сколькими способами можно это сделать?

17. Найти сумму всех трёхзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4. А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи каждого числа?

Решение: Всего таких чисел цифр, каждая из 4 цифр употребляется раз, поэтому сумма цифр первого разряда даст 16 (1+2+3+4)=160, второго –1600 и третьего –16000. Сумма равна 17760.

Если цифры не повторяются, то таких чисел

18. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз? А если каждая цифра встречается лишь один раз?

Решение: Число должно оканчиваться: 12, 24, 32, 44, 52; первые же две цифры могут быть произвольными. Всего получаем способами. Всего получаем 24 числа.

19. Компания из 7 юношей и 10 девушек танцует парами. а) Если в каком-либо танце участвуют все юноши, то сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце? Сколько имеется вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашенными? б) Решить те же вопросы, если относительно двух девушек можно с уверенностью утверждать, что они будут приглашены на танец.

Ответ: а) . б) .

20. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов, 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Решить эту задачу, при условии, что в отряд должны войти командир роты и старший из сержантов.

21. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

22. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

Ответ: Добавим к 20 книгам 4 одинаковых разделительных предмета и рассмотрим все перестановки полученных объектов. Их число равно

23. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?

Ответ: Точно так же как предыдущей задаче

24. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, полученных за каждое предложение?

Решение: Так как учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение, то надо распределить 30 одинаковых «предметов» по 5 «ящикам». Для этого добавим 4 одинаковых разделительных предмета и рассмотрим все перестановки полученных объектов. Их число равно

25. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должны быть переплетены хотя бы одна книга?

Решение: 12 книг можно переплести в переплеты трёх цветов случаях книги будут переплетены в не более чем два цвета, а в трех случаях – в один цвет. По формуле включений и исключений в

26. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

27. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора?

28. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: Так как

29. Для премии по математической олимпиаде выбраны 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек и никому не дают две книги сразу? Если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги?

Решение: Сначала выберем призеров, а потом распределим между ними книги. В результате по принципу умножения получаем способов распределения премий.

30. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей шестерку для запряжки так, чтобы вошли 3 лошади из шестерки ABCA'B'C', но ни одна из пар AA', BB', CC'?

Решение: Выберем по одной лошади из каждой пары AA', BB', CC' (8 способов выбора), трех лошадей из остальных 10 ( способов.

31. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фатеция» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

Решение: Выпишем сначала гласные в данном порядке. Тогда для буквы «ф» имеем 5 мест. После того как они выписаны, имеем 6 мест для буквы «ц» и, наконец, 7 мест для буквы «м». Всего

32. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

33. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?

34. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные?

Ответ: Сначала фиксируем порядок гласных (2 способа), затем поставим между этими гласными 2 согласные ( способа.

35. Сколькими способами можно распределить 3n предметов между тремя людьми так, чтобы каждый получил n предметов?

Ответ: Расставим предметы в некотором порядке и отдадим первому человеку первые n предметов, второму – вторые n предметов и последнему – оставшиеся предметы. Поскольку порядок элементов в группах не играет роли, получаем

36. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по 2 книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

37. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов 5 участникам так, чтобы четверо из них получили по 4 предмета, а пятый – два предмета. Если трое получают по 4 предмета, а двое – по 3 предмета?

Решение: Располагаем участников раздела в некотором порядке. После этого располагаем всеми способами 18 предметов по порядку и делим на 4 группы по 4 предмета и 1 группу в 2 предмета. Группу в 2 предмета отдаём одному из 5 участников раздела, а остальные группы даём остальным (первую группу – первому, вторую – второму и т. д.) Так как порядок элементов в группах не играет роли, получаем способов.

38. Сколькими способами можно раздать 27 книг лицам A, B и C так, чтобы A и B вместе получили вдвое больше книг, чем C?

Решение: Сначала выберем 9 книг для C. Это можно сделать способов раздела.

39. Сколькими способами можно выбрать из чисел от 1 до 100 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

Решение: Возможны следующие случаи: на 3 делятся все три слагаемых, одно слагаемое и ни одного из слагаемых. В первом случае слагаемые можно выбрать способов. Если все три слагаемых не делятся на 3, то они дают либо остатки 1, 1 и 1, либо 2, 2 и 2. Соответственно получаем

40. Сколькими способами можно выбрать из 3n последовательных целых чисел три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

41. На плоскости проведены 4 прямые линии, из которых никакие две не являются параллельными и никакие 3 не проходят через одну точку. Сколько получится треугольников?

42. На плоскости задано n точек, из которых p лежат на одной прямой, а кроме них никакие 3 точки не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Решение: Если бы никакие три из n точек лежат на одной прямой, то было бы треугольников надо отбросить. Остается

43. На прямой взяты p точек, а на другой прямой – ещё q точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Ответ: Можно взять две вершины на одной прямой, а третью – на другой. Поэтому получаем

44. Каждая сторона квадрата разбита на n частей. Сколько можно построить треугольников, вершинами которых являются точки деления?

Решение: Треугольники могут быть двух видов: либо все три вершины лежат на разных сторонах квадрата, либо две вершины лежат на одной стороне квадрата, а третья – на какой-либо другой. В первом случае надо выбрать три стороны квадрата из четырех ( способов выбора. Во втором случае надо выбрать сторону, где лежат две вершины (4 способа выбора) и две точки из n–1 ( способов). Всего во втором случае имеем способов.

45. Переплётчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

Решение: 12 книг можно переплести в переплеты 3 цветов 312 способами. Из них в случаях книги будут переплетены всех трех цветов.

46. На столе лежат 20 билетов. Какова вероятность того, что 3 наудачу взятых билета имеют номер не больше 5?

47. В одной урне 3 белых и 5 черных шаров, в другой – 9 белых и 4 черных. Из каждой урны взяли по три шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

48. Восемь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом?

49. Зенитная батарея, состоящая из 3 орудий, производит залп по группе, состоящей из 7 самолетам. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному и тому же самолетам.

50. Для уменьшения общего количества игр 12 команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.

51. Для уменьшения общего количества игр 2n команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

52. Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (k£l). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.

53. Из множества чисел последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

54. Из множества чисел последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

55. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2

56. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

57. N человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом вдоль одной из его сторон (N>2). Найти вероятность того, что два определенных лица А и В окажутся рядом.

58. Урна содержит шары с номерами 1, 2, . , n. Из нее k (k£n) раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют строго возрастающую последовательность.

60. В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров. Из нее извлекаются с возвращением наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного.

Ответ: Так как в условии задачи наличие или отсутствие красных шаров роли не играет, то искомая вероятность равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой имеется n белых и m черных шаров, т. е. равна

61. В урне имеются n белых и m черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, пока кто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.

Решение: Первый игрок выиграет, если он сразу достанет белый шар, либо если он достанет черный шар (в этом случае вероятность равна ) и т. д. В результате, используя принцип умножения, получим

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии находим

62. Для проверки собранной схемы последовательно послано три одиночных импульса. Вероятности прохождения каждого из них не зависят от того, прошли остальные или нет, и соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что пройдут ровно два посланных импульса.

63. Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью p1. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность того, что будет сбит хотя бы один самолет.

Ответ.

64. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается исправным с вероятностью p1, второй – с вероятностью p2 и третий – с вероятностью p3. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью p, а с вероятностью q=1–p объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.

65. Имеется m радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью p (независимо от других циклов и от других станций). За определенное время каждая станция успевает сделать n циклов. Найти вероятность того, что: а) объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) объект будет обнаружен каждой из станций.

Ответ. а) .

66. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить самолет (вывести его из строя), достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Найти вероятность того, что самолет будет поражен, если вероятность поражения первого двигателя равна p1, второго – p2 и кабины пилота – p3.

67. Имеется группа из k космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью p. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга m радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены.

Свойства сочетаний. Формула бинома Ньютона

1. . Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать k элементов из n совпадает с числом способов, которыми можно не выбрать n -k элементов из n. Легко проверяется непосредственным вычислением, выражая число комбинаций через факториалы.)

Пример. Сколькими способами можно попасть из левого нижнего угла таблицы в правый верхний, если передвигаться можно только по рёбрам клеток? Каждый кратчайший путь из точки (0; 0) в точку (m; n) состоит из (m + n)отрезков, причем среди них есть m горизонтальных и n вертикальных отрезков. Разные пути отличаются лишь порядком чередования горизонтальных и вертикальных отрезков. Поэтому общее число путей равно числу способов, которыми из (m + n)отрезков можно выбрать nвертикальных отрезков, т. е. .

Можно было бы рассматривать число способов выбора не n вертикальных, а m горизонтальных отрезков, и мы получили бы тогда ответ . Итак, .

Итак, число кратчайших путей из точки (0; 0) в точку (m,n) равно .

2. или . Первая формула получается так: Рассмотрим группу из n+1 человек. Нас интересует, сколькими способами можно составить из них команду из k человек. Зафиксируем одного из них и обозначим его А. Разобьём все возможные команды на две группы: те, в которые А входит и те, в которые нет. Число команд в первой группе равно - k- тый здесь А. Число команд во второй группе равно - здесь нет А. Тогда общее число команд и будет .Можно рассуждать иначе: В предыдущем примере правый верхний угол обозначим А(k,n-k). Попасть в него можно только или из точки А1(k-1,n-k) способами или из точки А2(k,n-k-1) способами. Сумма

этих двух выражений и даст второе представление искомой формулы.

3. Число всех подмножеств множества из n элементов равно .

(Пронумеруем элементы множества и для каждого подмножества множества построим последовательность длины n из нулей и единиц по следующему правилу: если элемент с номером k входит в подмножество на k-м месте пишем 1, а если элемент с номером k не входит в подмножество, то пишем 0. Итак, каждому подмножеству соответствует своя последовательность нулей и единиц. Например, пустому множеству соответствует последовательность из одних нулей. Число всех возможных последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, равно, согласно принципу умножения,.Следовательно, и число всех подмножеств исходного множества равно.)

Так как - это число к-элементных подмножеств множества из n элементов, то

3. Методы решения комбинаторных задач.

При решении конкретной задачи надо выяснить, не решается ли она непосредственно применением принципов комбинаторики. Если нет, то следует выяснить, какие именно подмножества следует рассматривать, допустимы или нет повторения элементов.

1. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? (По условию, места, занятые мужчинами и женщинами чередуются. Ha 5 местах женщин можно посадить 5! способами. Аналогично, на оставшихся 5 местах 5 мужчин можно посадить 5! способами. По правилу произведения получаем (5!) 2 различных способов рассадки. Пoменяв местами мужчин и женщин, получаем eщё (5!) 2 способов рассадки. Следовательно, условию задачи удовлетворяют 2(5!) 2 способов.)

2.В городе живёт 30000 жителей. Доказать, что, по крайней мере, у двоих из них имя, отчество и фамилия начинаются с одинаковых букв. (В русском алфавите 33 буквы, но по крайней мере с букв Ь и Ъ русские слова не начинаются. Поэтому общее число разных инициалов не больше 31 3 =29791, то есть меньше 30000.) 3. Из города А в город В ведут 7 дорог, а из города В в город С- 4 дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С через В? (Каждый путь искомого вида задается парой (а, Ь), где а- один из путей, соединяющих А и В, а b- один из путей, соединяющих В и С. Так как по условию а можно выбрать семью способами, а b- четырьмя, то пару (а, b) по правилу произве­дения можно выбрать 7• 4= 28 способами.) 4.Сколько 4-хзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? (Первые 2 цифры можно выбрать 5 способами, а последние 2 – это только 12, 24, 32, 44, 52. Таким образом, всего способов =125)

5.Код кейса состоит из 6 цифр. На набор одной цифры уходит одна минута. Сколько времени потребуется вору для вскрытия кейса?

6.11 депутатов должны выбрать своего председателя, его заместителя, мэра города, его заместителя и козла отпущения. Сколькими способами это можно сделать?

7.Сколько различных слов можно составить путем перестановки букв из слов МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ИНФОРМАТИКА, РАДИО,ЭКОНОМИКА?

8.Сколькими способами можно расставить n человек в одной очереди?

9.Сколькими способами можно разместить k студентов одной аудитории на n мест (n>k)?

10.Сколькими способами можно заполнить k мест в одной аудитории на n мест (n>k)?

11.Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры? (Всего пятизначных чисел так как 1-я цифра не ноль. Если все цифры разные, то 1-ю и 2-ю цифры выбирают 9 способами, 3-ю-8, 4-ю-7, 5-ю-6 способов, то есть способов. Таким образом, пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры-.)

12.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белyю и чёрную ладью так, чтобы они не били друг друга? (Поле для белой ладьи можно выбрать 64 способами. Независимо от этого выбора, ладья бьёт 14 полей и стоит на одном, поэтомy для черной ладьи остается 64 - 15= 49 пoлей)

13. Сколькими способами можно распределить 20 различных конфет между пятью детьми так, чтобы каждый ребёнок получил 4 конфеты? (Для 1-го способов, для 2-го уже , для 3-го- , для 4-го , для 5-го .

14. Сколькими способами можно распределить n одинаковых шаров по k ящикам так, чтобы не было пустых. (Пусть все n шаров- на полке, а распределение на к групп осуществляется установкой (к-1) перегородок. Чтобы не было пустых ящиков, перегородка стоит между двумя шарами, а таких промежутков (n-1). Таким образом, выбор можно сделать способами)

15.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр: 1,2,…9, если каждую цифру можно использовать несколько раз.) (Последняя цифра 5, то есть.)

16.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр: 0,1,2,…9, если каждую цифру можно использовать несколько раз. (Последняя цифра 0 или 5. Таким образом, для первой цифры – 9 способов ( она не 0), для следующих четырёх - 10 способов, для последней цифры – два способа, то есть )

17.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр: 1,2,…9, если каждую цифру можно использовать только один раз? ( Последняя цифра 5, то есть )

18.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр: 0,1,2,…9, если каждую цифру можно использовать только один раз? (Последняя цифра 5, первая не 0, , последняя цифра 0, , то есть .

19. В урне7 шаров: 3 белых и 4 чёрных. а) Вынимают один шар. Найти вероятность вынуть белый. б) Вынимают два шара. Найти вероятность вынуть: два белых, ни одного белого. а) Обозначим через А – вытягивание белого шара, N=7 – число всех случаев; M=4 – число случаев, благоприятствующих событию А. Тогда P(A) = . б) Число благоприятных исходов – это число способов, которыми можно вынуть два белых шара из трёх, то есть . Общее число исходов - это число способов, которыми можно вынуть два белых шара из семи, то есть .

20.Какова вероятность появления герба, по крайней мере, один раз при двукратном бросании монеты? Пространство равновозможных элементарных событий данного опыта состоит из следующих событий: Событие , состоящее в том, что при двукратном бросании монеты герб появится, по крайней мере, один раз, происходит при появлении одного из несовместных элементарных событий . Следовательно, Таким образом,

21. Технический контроль проверяет из партии в 500 деталей 20 деталей, взятых наудачу. Партия содержит 15 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные?Так как по условию задачи 20 деталей из 500 извлекаются наудачу, то все возможные варианты извлечения 20 деталей из 500 естественно считать равновозможными и для нахождения требуемой вероятности воспользоваться классической схемой (классическим определением вероятности).Так как порядок следования стандартных и нестандартных деталей в извлекаемых 20 не играет роли, а играет роль только количество стандартных и нестандартных деталей, то количество всех возможных способов, которыми это можно сделать, равно то есть Событию , состоящему в том, что будут извлечены две нестандартные детали при извлечении 20 (следовательно, остальные 18 должны быть стандартными), будет соответствовать исходов, то есть . Таким образом,

22.Трехзначное число составляется следующим образом: бросаются три игральные кости: белая, синяя и красная; число выпавших очков на белой кости – это число сотен, число выпавших очков на синей кости – это число десятков, а число выпавших очков на красной кости – это число единиц трехзначного числа. Какова вероятность того, что полученное таким образом число будет больше 456? Количество всех чисел, которые можно получить указанным способом – это число размещений с повторениями из 6 по 3. Следовательно,

Числа большие 456 будут получаться, если число сотен будет больше 4, то есть 5 или 6 или число сотен будет равно 4, а число десятков будет больше чем 5, то есть 6. Количество таких чисел будет . Следовательно, = и

Пример. В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных? Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна

1.2 Действия над событиями

Определение 1. Если всякий раз, когда происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В, (рис.1)

Определение 2. Говорят, что два события А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда и .

Определение 3. Под суммой двух событий А и В будем понимать такое событие С (С=А+В), которое состоит либо в появлении события А, либо в появлении события В ( рис.2).

Определение 4. Под произведением двух событий А и В будем понимать такое событие С (), которое состоит в одновременном появлении и события А, и события В ( рис.3).

Определение 5. Событие , противоположно событию А, если и ( рис. 4).

Определение 6. Два события называются несовместными, если они одновременно произойти не могут ( рис.5). Два события несовместны, если АВ=Ø.

Определение 7. Событие, состоящее в том, что событие А произошло, а событие В не произошло, обозначается А-В=А-АВ ( рис. 6).

Определение 9. Два события называются зависимыми, если вероятность одного события зависит от появлении или непоявления другого.

Определение 8. Два события называются независимыми, если вероятность одного события не зависит от появления или непоявления другого.

Определение 10. Двасобытия А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВØ и несовместными, если АВ = Ø.

Пример. А – выбор червонной карты и В – выбор десятки – совместные события, так как

АВ = выбор червонной десяткиØ

Пример. А – выпадение четного числа очков А = . В – выпадение нечетного числа очков В = . Очевидно, что А и В несовместны.

Определение 11. Полная группа событий – это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.е.

Читайте также: