На стол бросают монету и игральный кубик

Обновлено: 15.05.2024

1). Каждому из описанных событий (левый столбец) поставьте в соответствие верный вид (правый столбец).

А) Из 25 учеников класса трое справляют 1) Достоверное событие.

день рождения 15 января.

Б) Из 25 учеников класса трое справляют 2) Случайное событие.

день рождения 30 февраля.

В) 25 учеников в классе старше 7 лет. 3) Невозможное событие.

2). Каждому из описанных событий (левый столбец) поставьте в соответствие верный вид (правый столбец).

А) Все ученики 9-го класса изучают в 1) Невозможное событие.

Б) Все ученики за контрольный диктант 2) Случайное событие.

по русскому языку получили отметку «5» и «4».

В) Все ученики 9 класса занимаются 3) Достоверное событие.

конкуром (кросс на лошадях).

3). В мешке лежат 8 шаров: 4 синих, 2 белых и 2 желтых. Охарактеризуйте следующее событие «из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета».

1) Случайное событие. 2) Невозможное событие.

3) Достоверное событие. 4) Обычное событие.

4). В мешке лежат 8 шаров: 4 синих, 2 белых и 2 желтых. Охарактеризуйте следующее событие «из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара красного цвета».

5). Фермеру известно, что вероятность получения качественной моркови составляет 0,75. Сколько предполагается собрать моркови (штук), если высажено 10000 семян?

6). Проверка всхожести семян репы показала, что вероятность проращивания всходов составляет 0,85. Сколько проросших семян репы можно ожидать при посеве 2000 семян?

7). Спортсмен сделал 20 выстрелов и попал в мишень 16 раз. Определите относительную частоту попадания.

8). Во время тренировки вратарь поймал шайбу 10 раз из 20 бросков тренера по воротам. Определите относительную частоту удачных действий вратаря.

9). Доля брака при производстве пылесосов составляет 0,04%. С какой вероятностью купленный Вами пылесос в магазине «Эльдорадо» окажется исправным?

1) 0,96; 2) 0,04; 3) 0,0096; 4) 0,9996.

10). Доля брака при производстве мониторов составляет 0,15%. С какой вероятностью монитор, только что купленный в магазине «Эксперт», окажется исправным?

1) 0,0015; 2) 0,9985; 3) 0,85; 4) 0,15.

11). Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, больше 2.

1) ; 3) 1; 4) 0.

12). Для зачета по геометрии по теме «Векторы на плоскости» учитель подготовил билеты с номерами от 1 до 10. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет с номером, большим 7.

1) ; 3)

13). Студент при подготовке к экзамену не успел выучить пять из 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?

14). Для новогодней лотереи отпечатали 1200 билетов, из которых 300 – проигрышные. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

15). Игральный кубик подбросили 100 раз. Результаты эксперимента занесли в таблицу.

Количество выпавших очков

Число наступлений события

Какова частота наступления события «выпало не менее четырех очков»?

16). Игральный кубик подбросили 200 раз. Результаты эксперимента занесли в таблицу.

Какова частота наступления события «выпало не более трех очков»?

17). Из слова «КЕФИР» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

18). Из слова «КАМЕНЬ» случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

19). Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается нулем.

1) ; 3) .

20). Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно состоит из одинаковых цифр.

21). На стол бросают монету и игральный кубик. Какова вероятность того, что на монете появится орел, а на кубике – 2 очка?

22). На стол бросают монету и игральный кубик. Какова вероятность того, что на монете появится решка, а на кубике – четное число очков?

Ответы и решения

3) 2. Решение: событие невозможно, т. к. в мешке лежат шары только трех цветов.

4) 3. Решение: событие достоверное, т. к. в мешке нет шаров красного цвета.

5) 7500. Решение: пусть событие А – «получение проросших семян репы». Применим формулу классической вероятности: m_A = n × p ( A ), т. е. m_A = 10000 × 0,75 = 7500.

6) 1700. Решение: пусть событие А – «получение качественной моркови». Применим формулу классической вероятности: m_A = n × p ( A ), т. е. m_A = 2000 × 0,85 = 1700.

7) 0,8. Решение: пусть событие А – «попадание в мишень в 16 случаях», т. е. М = 16. Общее число испытаний N = 20. Значит, относительная частота события А равна .

8) 0,5. Решение: пусть событие А – «вратарь ловит шайбу в 10 случаях», т. е. М = 10. Общее число бросков шайбы равно 20. Значит,

9) 4. Решение: исправные пылесосы составляют 99,96% от общего числа, поэтому искомая вероятность равна 0,9996. Ответ: 4.

10) 2. Решение: исправные мониторы составляют 99,85% от общего числа, поэтому искомая вероятность равна 0,9985. Ответ: 2.

11) 1. Решение: пусть события А – «появление числа очков больше 2», ему благоприятствуют 4 исхода (появление 3 или 4; или 5; или 6), т. е. m = 4. Число всех равновозможных исходов n = 6, поэтому искомая вероятность равна 12) 3. Решение: пусть событие В – «взятие билета с номером, больше 7», ему благоприятствуют 3 исхода (появление билетов с номером 8; или 9; или 10;), т. е. m = 3. Число всех равновозможных исходов n = 10, поэтому искомая вероятность равна 13) 0,8. Решение: общее число билетов n = 25. Выбор каждого билета равновозможен. Событие А – «студенту достанется на экзамене выученный билет». Количество благоприятствующих исходов m = 25 – 5 = 20. Вероятность события А равна 14) 0,75. Решение: будем считать, что продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1200 билетов будет равновозможна. Пусть событие А – «купленный билет оказался выигрышным». Количество благоприятствующих исходов m = 1200 – 300 = 900, а общее число равновозможных исходов n = 1200. Вероятность события А равна 15) 0,55. Решение: пусть событие А – «выпало не менее четырех очков». Количество благоприятствующих исходов m = 13 + 22 + 20 = 55. Общее число равновозможных исходов n = 100. Вероятность события А равна 16) 0,35. Решение: пусть события А – «выпало не более трех очков». Количество благоприятствующих исходов m = 15 + 28 + 27 + = 70. Общее число равновозможных исходов n = 200. Вероятность события А равна 17) 0,6. Решение: опыт имеет 5 равновозможных исходов (букв), из которых 3 благоприятствующих (согласные буквы). Вероятность события равна

18) Решение: опыт имеет 6 равновозможных исходов (букв), из которых 2 благоприятствующих (гласные буквы). Поэтому вероятность события равна .

19) 0,1. Решение: общее число двузначных чисел равно n = 9 × 10 = 90. Выбор каждого из них считается равновозможным. Пусть событие А – «выбранное число оканчивается нулем». Число благоприятствующих исходов равно m = 9, т. е. 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90. Эти числа находим прямым перебором. Вероятность события А равна 20) 0,1. Решение: общее число двузначных чисел равно n = 9 × 10 = 90. Выбор каждого из них считается равновозможным. Пусть событие А – «выбранное число состоит из одинаковых цифр». Число благоприятствующих исходов равно m = 9, т. е. 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. Эти числа находим прямым перебором. Вероятность события А равна

21) Решение: общее число исходов найдем используя правило произведения n = n ₁ × n ₂ , где n ₁ = 2, т. к. для монеты имеем два исхода «орел» или «решка», а n ₂ = 6, т. к. число возможных исходов для кубиков равно 6, т. к. у него 6 граней. Следовательно, n = 2 × 6 = 12. Событие А – «на монете «орел», на кубике – 2 очка». Количество благоприятствующих исходов равно: 1 на монете и 1 на кубике, т. е. m = 1 × 1 = 1. Вероятность события А равна .

22) . Решение: общее число исходов найдем, используя правило произведения n = n ₁ × n ₂ , где n ₁ = 2, т. к. для монеты имеем два исхода «орел» или «решка», а n ₂ = 6, т. к. число возможных исходов для кубиков равно 6, т. к. у него 6 граней. Следовательно, n = 2 × 6 = 12. Событие А – «на монете «решка», на кубике – четное число очков». Количество благоприятствующих исходов равно: 1 на монете и 3 (на кубике 2; 4; 6 очков), т. е. M = 1 × 3 = 3. Вероятность события А равна .

МОНЕТА И ИГРАЛЬНАЯ КОСТЬ

Монета часто помогала людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись на судьбу. В пьесе А. Н. Островского "Бесприданница" есть эпизод, когда купцы Кнуров и Вожеватов с помощью игры в орлянку решают, кому достанется Лариса:

ВОЖЕВАТОВ. Да вот, лучше всего. (Вынимает из кармана монету и кладет под руку.) Орел или решетка?

КНУРОВ (в раздумье). Если скажу: орел, так проиграю; орел, конечно, вы. (Решительно.) Решетка.

ВОЖЕВАТОВ (поднимая руку). Ваше. Значит, мне одному в Париж ехать. Я не в убытке; расходов меньше.

И до сих пор монета часто используется как средство решения споров.

Математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством.
Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть "орлом" или "решкой". При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен, — она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может "встать на ребро".

Настоящая металлическая монета служит лишь иллюстрацией для математической монеты. Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Тем не менее, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросали, бросаем и будем бросать обычную монету (без явных дефектов).

ИГРАЛЬНЫЕ КОСТИ
Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральная кость имеет удивительную историю. Игра в кости — одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме.

Игральные кости в виде кубиков находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Точки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.

Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. "Гимн игрока" — первый литературный текст, упоминающий кости, — изображает их как враждебную человеку магическую стихию:
Ведь кости усеяны колючками и крючками,
Они порабощают, они мучают, испепеляют,
Одаряют, как ребёнок, победителя они вновь лишают победы.
Неудачливый игрок пытается заклясть кости, заключает с ними мир:
Заключите с нами дружбу! Помилуйте нас!

Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Вершины и рёбра кубиков должны иметь правильную форму. Если они скруглены, то все скругления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7.

Математическая игральная кость, которая обсуждается в теории вероятностей, — это математический образ правильной кости. Выпадения всех граней равновозможны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни иных материальных качеств.

Поддельные кости
Все рассуждения о равных вероятностях выпадения различных комбинаций справедливы, если кость имеет кубическую форму и ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Изменение формы или смещение центра тяжести меняет свойства кости. Кости неправильной формы — самый обычный тип шулерских костей. Иногда в кости вплавляют свинцовые шарики, в них делают замаскированные пустоты, каналы, по которым переливается ртуть.

Нарушить равновозможность выпадения граней можно, сделав некоторые грани чуть выпуклыми, а другие — чуть вогнутыми. Достаточно сделать одни из граней более гладкими, чем другие. Все эти способы предназначены для изменения вероятностей выпадения очков.

ПРИЛОЖЕНИЯ:
Примеры задач с использованием монет

Примеры задач с использованием кубиков

ВЫВОДЫ по работе:
В ходе работы мы

Узнали об истории названий "орел" и "решка" и об игральных костях

Выяснили, чем отличаются настоящие математические монеты и кости от настоящих

Узнали, как отличить настоящую игральную кость от поддельной

Рассмотрели некоторые примеры задач с применением монеты и кубиков

Монеты и игральные кости
Не только в прошлом, но и в настоящее время позволяют проводит вероятностные эксперименты и делать выводы о тех или иных событиях

А. Н. Островский "Бесприданница»

Е.А. Бунимович, В.А. Булычев «Вероятность и статистика», М., «Дрофа»,2002 г, 160 с.

«Школьная Энциклопедия : математика», М., «Дрофа», 1997 г, 528 с.

Д.К. Фаддеев, М.С. Никулин, И.Ф. Соколовский «Элементы высшей математики для школьников», М., «Наука», 1987г

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 3 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Решение задач о бросании игральных костей

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) - задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач - использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ - число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ - число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ - сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи - снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию "на первой кости выпало не более 4 очков" - то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ - $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac=\frac; \quad P(AB)=\frac=\frac=\frac;\\ P(B|A)=\frac=\frac=\frac. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Читайте также: