На гладком горизонтальном столе покоится брусок

Обновлено: 03.05.2024

Чивилев В. Закон сохранения импульса // Квант. — 2000. — № 2. — С. 30-31, 34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Импульсом материальной точки называется произведение массы точки на ее скорость: . Импульсом системы материальных точек называется векторная сумма импульсов отдельных точек: . Любое макроскопическое тело или несколько макроскопических тел можно рассматривать как систему материальных точек, поскольку каждое тело можно мысленно разбить на сколь угодно малые части и считать их материальными точками. В дальнейшем систему материальных точек для краткости будем называть просто системой.

Из законов Ньютона следует, что в инерциальной системе отсчета справедливо векторное равенство

где — сумма всех внешних сил, действующих на систему в течение сколь угодно малого интервала времени Δt (Δt > 0), а — изменение импульса системы за это время. Произведение называется импульсом силы. Обратите внимание, что — это сумма только внешних сил, т.е. сил, действующих на тела системы со стороны тел, не входящих в систему. Внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между частями системы, в равенство (1) не входят.

Если в течение времени Δt (Δt > 0) сумма внешних сил равна нулю, т.е. , то и , т.е. импульс системы в течение Δt сохраняется. Когда время взаимодействия тел системы (время опыта) не мало, его можно разбить на сколь угодно малые интервалы: , где k = 1, 2, 3 . Если в течение каждого такого интервала сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы будет сохраняться в течение этого интервала и, как следствие, в течение всего времени опыта. Напомним, что замкнутой (изолированной) системой называется система, тела которой не взаимодействуют с другими телами (внешним миром). Ясно, что для замкнутой системы и .

Итак, в инерциальной системе отсчета импульс системы материальных точек сохраняется в течение некоторого времени Δt (не обязательно малого) в двух случаях:

1) система в течение Δt замкнута (изолирована);

2) система не замкнута, т.е. внешние силы есть, но их сумма равна нулю в течение всего времени Δt.

Это утверждение и представляет собой закон сохранения импульса в развернутой формулировке.

Импульс системы — это вектор, и его сохранение в течение некоторого времени взаимодействия частей системы встречается не так часто, хотя бы потому, что в земных условиях строго замкнутой системы нет в принципе из-за наличия внешней силы — силы притяжения к Земле. Да и равенство нулю суммы всех внешних сил на протяжении некоторого интервала времени может реализоваться только при вполне определенных условиях. Гораздо чаще встречается случай, когда за время Δt векторная сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма их проекций на некоторую ось X в пространстве. Тогда в течение этого времени сохраняется проекция на ось X импульса системы. Действительно, запишем равенство (1) в проекциях на ось Х:

где F_x — проекция на ось X суммы всех внешних сил (по правилам действия с векторами F_x равна сумме проекций на ось X всех внешних сил), а Δр_х — проекция на ось X изменения импульса системы (по правилам действия с векторами Δр_х равна изменению проекции на ось X импульса системы). Если в течение времени то из равенства (2) следует, что и . Если же время Δt опыта не мало, то после разбиения его на сколь угодно малые интервалы легко показать, что при выполнении в течение произвольного Δt условия будет иметь место следствие .

Иными словами, в инерциальной системе отсчета проекция на некоторую ось X импульса системы материальных точек сохраняется в течение некоторого времени Δt (не обязательно малого), если сумма проекций на ось X всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю в течение этого времени Δt.

На основании этого утверждения о сохранении проекции импульса и решается большинство задач. При этом часто запись уравнения, отражающего сохранение проекции импульса в виде равенства начальной и конечной проекций импульса, обосновывается фразой «по закону сохранения импульса», что не совсем точно. Но поскольку эта неточность не влияет на результат при решении задачи, на нее, как правило, никто не обращает внимания, в том числе и экзаменаторы.

Скажем несколько слов о приближенном сохранении импульса или его проекции. Равенство (1) тем точнее, чем меньше Δt. Конечное время опыта Δt можно разбить на сколь угодно малые интервалы времени Δt_k и записать для каждого из них равенство

Сложив все такие равенства, получим новое, внешне похожее на (1):

где — некоторая средняя внешняя сила, действующая в течение Δt и определяемая из равенства , а — изменение импульса системы за конечное время Δt. Аналогично получается и внешне похожее на (2) равенство в проекциях:

где F_x _cp — некоторое среднее значение суммы проекций на ось X всех внешних сил в течение конечного времени опыта Δt, а Δр_х — изменение проекции на ось X импульса системы за это время. Ясно, что при (например, в любой момент опыта) из равенства (3) следует и . При из равенства (4) следует . Если же в течение времени опыта не выполняется строго или , то за «помощью» в решении задачи следует обращаться к равенствам (3) и (4) и анализировать их. Иногда можно считать, что величины F_cp·Δt или F_x _cp·Δt, характеризующие импульс силы, малы. Тогда из (3) или (4) следует, что или . Такая ситуация встречается при некоторых взаимодействиях тел системы — таких, как удары, когда Δt мало, a F_cp или F_x _cp ограничены из-за ограниченности значений F или F_x в течение опыта.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач. Все они в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт (МФТИ). Автор всех разобранных задач, включая и задачи для упражнений, — автор этой статьи.

Задача 1. После разрыва неподвижного снаряда образовалось четыре осколка. Осколок массой m₁ = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью υ₁ = 150 м/с, осколок массой m₂ = 3 кг полетел горизонтально на юг со скоростью υ₂ = 100 м/с, осколок массой m₃ = 1 кг — горизонтально на восток. Осколок массой m₄ = 3,5 кг полетел со скоростью υ₄ = 200 м/с. Найдите скорость осколка массой m₃.

Рассмотрим систему из четырех осколков. За малое время разрыва Δt действием внешних сил — сил тяжести — можно пренебречь, поскольку за то время они не вызывают существенного изменения импульса осколков из-за их малости по сравнению с внутренними силами, действующими между осколками. Поэтому можно считать, что импульс системы сохраняется (приближенно):

Длина вектора равна длине диагонали АВ прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах и (рис. 1). Следовательно,

Из последнего равенства находим

Задача 2. Между шариками с массами m и М, связанными нитью, вставлена легкая пружина жесткостью k, сжатая на некоторую величину (рис.2). Система движется со скоростью υ₀ вдоль прямой, проходящей через центры шариков. Нить пережигают, и один из шариков останавливается. Найдите начальную величину сжатия пружины.

Система из шариков, пружины и нити предполагается замкнутой.

В земных условиях смоделировать процесс, описанный в задаче, можно на гладком горизонтальном столе. Ясно, что остановиться может только левый шарик, так как пружина на него действует силой, направленной против его начальной скорости. Пусть скорость правого шарика после распрямления пружины равна . По закону сохранения импульса,

Заметим, что совпадение направлений скоростей и следует именно из последнего равенства. Взяв модули от левой и правой частей этого равенства (точнее, записав равенство в проекциях на ось X, направленную вдоль оси пружины), получим

По закону сохранения энергии,

Исключая из последних двух уравнений υ, находим искомую величину сжатия пружины

Задача 3. Кусок пластилина массой m = 32 г попадает в брусок массой 6m, двигавшийся по гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 3), прилипает к бруску и далее движется с ним по столу. Перед ударом скорость куска пластилина равна υ = 7 м/с и направлена под углом α = 60° к горизонту, а скорость бруска равна υ/4 и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина. Определите скорость бруска с пластилином после удара. На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска, пластилина и окружающих тел?

Внешние силы, действующие на систему из бруска и пластилина за время их взаимодействия Δt, — это силы тяжести и 6 и зависящая от времени сила нормальной реакции стола на брусок, направленная вертикально вверх. Ясно, что сумма внешних сил

в произвольный момент интервала времени Δt не равна нулю. Этим и объясняется, что импульс системы не сохраняется. Впрочем, несохранение импульса сразу бросается в глаза — начальный суммарный импульс системы направлен вправо и вниз, а конечный — вправо и горизонтально.

Если импульс системы не сохраняется, то следует поискать ось в пространстве, для которой сохраняется проекция импульса системы. Поэтому проанализируем выражение для . Ясно, что для горизонтальной оси X, направленной вдоль начальной скорости бруска, в любой момент из интервала Δt, поэтому проекция на ось X импульса системы сохраняется:

откуда и находим скорость бруска с пластилином:

Величину ΔW увеличения внутренней энергии бруска, пластилина и окружающих тел найдем из закона сохранения и превращения энергии:

откуда, с учетом выражения для u, получаем

Задача 4. Пуля летит горизонтально со скоростью υ₀, пробивает лежащую на горизонтальной поверхности стола небольшую коробку и вылетает в том же направлении с втрое меньшей скоростью. Масса коробки в 5 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между коробкой и столом μ. Найдите скорость коробки сразу после вылета из нее пули. На какое расстояние передвинется при этом коробка?

Рассмотрим систему из коробки и пули. Пусть масса пули m, масса коробки 5m, скорость коробки сразу после вылета пули υ. За время взаимодействия Δt (пролета пули через коробку) на систему действуют такие внешние силы: направленные вертикально вниз силы тяжести и 5, направленная вертикально верх и мало изменяющаяся со временем сила нормальной реакции стола и направленная против скорости коробки сила трения со стороны стола (рис. 4).

Ясно, что сумма внешних сил в течение Δt не равна нулю. Не равна нулю и проекция F_x на горизонтальную ось X, направленную вдоль скорости коробки: . Но действием ограниченной по величине силы трения за малое время пролета Δt можно пренебречь и считать, что . Тогда за время пролета пули проекция на ось X импульса системы сохраняется (приближенно):

откуда и находим скорость коробки:

После вылета пули скорость коробки с течением времени уменьшается под действием силы трения, равной 5μ·m·g. Расстояние s, на которое передвинется коробка, найдем из закона сохранения и превращения энергии:

Задача 5. Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 5). Нижний конец трубки горизонтален и находится на расстоянии h от стола. Шарик массой m, который может скользить по трубке без трения, удерживается на высоте Н от стола. Масса платформы с трубкой 3m. Вначале система покоилась. Шарик отпустили. Найдите скорость вылетевшего из трубки шарика, если: 1) брусок закреплен на столе; 2) брусок не закреплен и после вылета шарика движется поступательно.

1) В случае закрепленного бруска скорость υ₁ вылетевшего шарика найдем из закона сохранения и превращения энергии:

2) В случае незакрепленного бруска будем рассуждать так. Пусть шарик вылетел из трубки со скоростью υ₂, a брусок с трубкой приобрел скорость u в противоположном направлении. На систему из шарика и бруска с трубкой за время Δt движения шарика в трубке действуют такие внешние силы: направленные вертикально вниз силы тяжести и 3 и направленная вертикально вверх и зависящая от времени сила нормальной реакции стола . Заметим, что Δt здесь не считается малым! Направим ось X горизонтально в направлении скорости вылетевшего шарика. Ясно, что проекция на ось суммы всех трех вертикальных сил равна нулю в любой момент из интервала времени Δt. Значит, проекция на ось X импульса системы сохраняется:

По закону сохранения и превращения энергии,

Из последних двух уравнений находим скорость шарика:

1. Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка. Осколки массами m₁ = 3 кг, m₂ = 2 кг и m₃ = 4 кг полетели, соответственно, со скоростями υ₁ = 200 м/с вертикально вверх, υ₂ = 150 м/с горизонтально на север и υ₃ = 100 м/с горизонтально на восток. Под каким углом к горизонту полетел четвертый оcколок?

2. Камень массой m = 1 кг подняли на некоторую высоту и отпустили без начальной скорости. Через время t = 1 с практически свободного падения камень попал в ящик с песком массой 5m, скользивший по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью υ = 6 м/с. Найдите скорость ящика с камнем. На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ящика, песка, камня и окружающих тел?

3. Трубка в виде петли жестко укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 6). Правый конец трубки горизонтален, его расстояние до стола h. В трубке на высоте Н удерживается шарик массой m, который может скользить по трубке без трения. Масса платформы с трубкой Δm. Система покоится. Шарик отпускают. Найдите скорость вылетевшего из трубки шарика, если: 1) платформа закреплена на столе; 2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно.

На гладком горизонтальном столе покоится брусок

Разделы

Дополнительно

Задача по физике - 15137

Груз массой $m$ подвешен на трех тросах (рис.). Считая деформации малыми, найдите величину силы натяжения каждого троса, если они сделаны из одного материала и площади их поперечных сечений одинаковы. Ускорение свободного падения $g$.

Задача по физике - 15139

На гладком горизонтальном столе стоит брусок (рис.). На бруске закреплен блок, через который перекинута гладкая идеальная нить. Один конец нити привязан к неподвижной относительно стола стойке так, что верхняя часть нити горизонтальна, а к другому ее концу прикреплен маленький тяжелый шарик. Удерживая брусок, шарик отклоняют так, чтобы нижний отрезок нити образовал с вертикалью угол $\alpha$ и расположился с ее верхним отрезком в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком. В течение некоторого промежутка времени после одновременного отпускания шарика и бруска угол наклона нижнего участка нити остается постоянным. Найдите величину ускорения шарика в этот промежуток времени.

Задача по физике - 15140

На край стола поставили вертикально невесомой стержень длиной $L$, на концах которого закреплены маленькие тяжелые одинаковые шарики А и В, а затем его отпустили без начальной скорости. Стержень стал падать в направлении, указанном изогнутой стрелкой на рисунке, оставаясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной краю стола. С какой угловой скоростью будет вращаться стержень после отрыва от стола, если до этого шарик В не скользил по столу?

Задача по физике - 15141

Изогнутая под прямым углом гладкая трубка закреплена так, что один из ее концов направлен вертикально вниз (рис.). Внутри трубки находится однородная гибкая веревка длиной $L$, диаметр которой чуть меньше диаметра трубки. Верхний конец веревки через невесомую нить АВ соединен с легкой пружиной, другой конец которой закреплен так, что ее ось горизонтальна и совпадает с нитью. К нижнему концу веревки, не оттягивая его, прикрепили груз массой $M$. После отпускания груза без начальной скорости он движется некоторое время с постоянным ускорением $a$. Найдите жесткость пружины $k$.

Задача по физике - 15167

Тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $R$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найдите натяжение кольца.

Задача по физике - 15168

Внутри тонкой сферы радиусом $R$ создано избыточное давление $p$. Какой должна быть толщина сферы, чтобы она при этом не разорвалась, если разрыв происходит при напряжении $\sigma_<кр>$?

Задача по физике - 15175

Однородные шары радиусом $R$ каждый находятся на гладкой горизонтальной спице (рис.). К покоящемуся шару массой $6m$ прикреплена легкая пружина жесткостью $k$ и длиной $6R$. Шар массой $m$ движется со скоростью $v$. Найдите максимальную деформацию $\Delta L_$ пружины и время $\tau$ контакта шара массой $m$ с пружиной.

Задача по физике - 15176

С плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$ скатывается без проскальзывания однородная тонкостенная труба массой $M$. Найдите ускорение $a_<ц>$ центра масс трубы и силу трения $F_$, пренебрегая влиянием воздуха. При каком соотношении между коэффициентом трения скольжения $\mu$ и углом $\alpha$ качение будет происходить без проскальзывания? Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача по физике - 15177

По клину массой $M$, находящемуся на гладкой горизонтальной плоскости, скользит шайба массой $m$. Гладкая наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол $\alpha$. Определите величину ускорения клина $a_<1>$. Под каким углом $\beta$ к горизонту движется шайба? Найдите силу давления $F$ шайбы на клин. Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача по физике - 15178

На гладкой горизонтальной плос кости лежит клин с углом при вершине $\alpha$. На гладкой наклонной рис. плоскости клина лежит брусок, связанный с клином пружиной жесткостью $k$ (рис.). Масса клина $M$, масса бруска $m$. Найдите период $T$ малых колебаний системы.

Задача по физике - 15179

Гантель, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать вследствие малого отклонения вправо от вертикали. Определите силу $F$, с которой левый шарик гантели действует на опору за мгновение до удара об опору правого шарика. Масса каждого шарика $m$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача по физике - 15183

На рисунке показана упрощенная схема кривошипно-шатунного механизма паровоза. Когда ось А крепления шатуна к колесу находится выше оси О колеса, давление справа от поршня равно атмосферному $p_$, а слева от него давление поддерживают равным $p > p_$; когда ниже, то давление слева $p_$, а справа $p$. Радиус колеса $R, AO = r$, площадь поршня $S$. Найдите максимальную горизонтальную силу, с которой колесо действует на свою ось.

Задача по физике - 15221

Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и полностью заполняет горизонтальное колено трубки (рис.). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление $p_<0>$, плотность масла $\rho$. Найдите: 1) давление масла в месте изгиба трубки; 2) давление масла у запаянного конца трубки.

Задача по физике - 15231

На горизонтальной крышке стола лежит однородный куб массой $m$, к середине верхнего ребра которого прикреплена легкая нить. Коэффициент трения куба о крышку $\mu$, причем $\mu 188 189 190 191 192

Чивилев В. Закон сохранения импульса // Квант

7.1 Применение законов Ньютона: задачи по динамике с ответами

(Все задачи по динамике и ответы к ним находятся в zip-архиве (246 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

7.1. К телу, лежащему на гладкой горизонтальной поверхности, приложена некоторая сила, под действием которой тело, двигаясь из состояния покоя, на пути 1 м приобрело скорость 10 м/с. Какую силу приложили к телу, если его масса 1 кг? [50 H]

7.2. Тело массой m = 1 кг удерживается нитью, переброшенной через блок (рисунок слева). Одинакова ли сила, приложенная к нити в положениях 1 и 2? Какая сила действует на блок в положениях 1 и 2? [Одинакова; 14 H; 20 H]

7.3. На гладкой горизонтальной поверхности (рисунок слева) лежат два тела массами m₁ и m₂, связанные нитью. Силу F, направленную горизонтально, прикладывают сначала к телу m₁, а затем к телу m₂. Найти силу натяжения нити в том и другом случаях. [ T₁ = Fm₂/(m₁ + m2); T₂ = Fm₁/(m₁ + m₂) ]

7.4. На гладком горизонтальном столе лежат четыре тела одинаковой массы m, связанные нитями. К крайнему телу приложена горизонтальная сила F. Найти ускорение системы и силы натяжения всех нитей. [ a = F/(4m); F₁₂ = 3F/4; F₂₃ = F/2; F₃₄= F/4 ]

7.5. Шайба остановилась через 5 с после удара клюшкой на расстоянии 20 м от места удара. Масса шайбы 100 г. Определить силу трения между шайбой и льдом. [0,16 H]

7.7. В первом случае тело лежит на гладком горизонтальном столе. К нему привязана невесомая нить, перекинутая через блок на краю стола, к другому концу которой подвешено такое же тело. Во втором случае это же тело тянут с горизонтальной силой равной силе тяжести. Во сколько раз отличаются ускорения тела в этих случаях? [ a₂/a₁ = 2 ]

7.8. Груз закреплен на тележке (рисунок слева) на четырех нитях. Силы натяжения горизонтальных нитей равны T₁ и T₂, а вертикальных — T₃ и T₄. С каким горизонтальным ускорением движется тележка? [ a = g(T₂ − T₁)/(T₄ − T₃) ]

7.9. Стержень длиной L лежит на горизонтальном гладком столе (рисунок слева). На один из концов стержня вдоль его оси начинает действовать сила F. Какая сила действует в поперечном сечении, находящемся на расстоянии x от этого конца? [ F_x = F(1 − x/L) ]

7.11. Два тела массами m₁ и m₂ соединены пружиной и подвешены на нити к потолку. Нить перерезают. С какими ускорениями начнут двигаться тела? [ a₁ = g(1+ m₂/m₁); a₂ = 0 ]

7.12. Котенок, идущий по полу, подпрыгивает и хватается за вертикальный шест, подвешенный на нити к потолку. В этот момент нить обрывается. С каким ускорением падает шест, если котенок взбирается по шесту так, что все время находится на одной высоте от пола? Масса котенка m, а масса шеста M. [ a = g(1 + m/M) ]

7.14. Брусок скользит по гладкой горизонтальной плоскости под действием нити АВ (рисунок слева). Масса бруска равна m, ускорение точки B равно a и направлено горизонтально, угол наклона нити к горизонту — α. Найти силу давления бруска на плоскость и силу натяжения нити. [ N = m(g − a•tg α); T = ma/cos α ]

7.15. На нити, выдерживающей силу натяжения 10 Н, поднимают груз массой 500 г из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным, а силу сопротивления движению постоянной и равной 1 Н, найти предельную высоту, на которую можно поднять груз за 1 с. [h = 3,92 м]

7.16. На гладкой наклонной плоскости лежит брусок (рисунок слева). С каким горизонтальным ускорением необходимо двигать наклонную плоскость, чтобы брусок по ней не скользил? Угол наклона плоскости равен α. [ a = g•tg α ]

7.17. Капля дождя, падая с большой высоты, испаряется. Увеличивается или уменьшается при этом скорость ее падения? [Уменьшается. Сила сопротивления пропорциональна площади сечения капли, а значит ее радиусу во второй степени, а сила тяжести пропорциональна объему капли, а значит ее радиусу в третьей степени]

7.18. Тело массой m = 100 г падает с высоты h = 20 м за время t = 2,5 с. Определить среднюю за время падения силу сопротивления воздуха. [ F = m(g − 2h/t 2 ) ]

7.19. Веревка длиной L = 12 м и массой m = 6 кг перекинута через невесомый блок. Какова сила натяжения веревки в ее середине в тот момент, когда длина веревки по одну сторону от блока равна l = 8 м? [ F = mg(1 − l/L) = 20 Н ]

7.20. На плоскости с углом наклона α лежит брусок массой m (рисунок слева), привязанный нитью к плоскости. Наклонная плоскость движется вправо с ускорением a. Найти силу натяжения нити и силу давления бруска на плоскость. При каком ускорении брусок оторвется от плоскости? [ T = m(g•sin α + a•cos α); N = m(g•cos α − a•sin α); a₁ = g•ctg α ]

7.22. С наклонной плоскости (рисунок слева) без трения скатывается тележка, на которой лежит груз массы m. Какова сила трения между грузом и тележкой, если верхняя плоскость тележки горизонтальна? Угол наклона плоскости α. При каком предельном значении угла груз еще не будет скользить по тележке, если коэффициент трения равен μ? [ F_тр = mg•sin α•cos α; α_пр = arctg μ ]

7.23. Какую горизонтальную силу необходимо приложить к тележке массой M, чтобы тела массами m₁ и m₂ относительно нее не скользили (рисунок слева)? Трения нет. [ F = (M + m₁ + m₂)gm₂/m₁ ]

7.24. Два одинаковых груза 1 и 2 массой m находятся на разных склонах наклонной плоскости (рисунок слева). Коэффициенты трения грузов о плоскость μ₁ и μ₂, а углы наклона склонов α и β соответственно. Тело 2 начинает скользить вниз. Найти ускорение тел. [ a = 0.5g(sin β − sin α − μ₂cos β − μ₁cos α) ]

7.2 Применение законов Ньютона: задачи по динамике с ответами

(Все задачи по динамике и ответы к ним находятся в zip-архиве (186 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

7.25. Для равномерного поднятия груза массой m = 100 кг вверх по наклонной плоскости с углом α = 30° необходимо приложить силу F = 600 Н, направленную вдоль плоскости. С каким ускорением будет скатываться груз, если его отпустить? [ a = 4 м/с 2 ]

7.26. Из одной точки на длинной наклонной плоскости одновременно пускают два тела с одинаковыми скоростями: первое — вверх вдоль плоскости, второе — вниз. Найти отношение расстояний, пройденных телами к моменту остановки первого тела. Трения нет. [ L₂/L₁ = 3 ]

7.27. Брусок толкнули со скоростью 10 м/с вверх вдоль доски, наклоненной под углом 30° к горизонту. Обратно он вернулся со скоростью 5 м/с. С какой скоростью вернется брусок, если его толкнуть с той же скоростью вдоль той же доски, наклоненной под углом 45° к горизонту? [ v = 6,97 м/с ]

7.28. На вершине равнобедренного клина с углом при основании α= 45° находится невесомый блок, через который перекинута нить. К нити привязаны два бруска с массами m₁ и m₂. Если бруску m₁ сообщить некоторую скорость, направленную вниз, то система остановится через время t₁, если с той же скоростью толкнуть вниз брусок m₂, то система остановится через время t₂. Определить отношение масс m₁/m₂, если известно, что t₁/t₂ = 2, а коэффициент трения между брусками и клином равен μ = 0,5. [ m₁/m₂ ≅ 0.714. Смотрите формулу в общем файле]

7.29. Наклонная плоскость разделена по длине на две равные части. Если тело отпустить без начальной скорости с самого верха, то оно доедет до низа с нулевой скоростью. Каков коэффициент трения между телом и плоскостью на нижней половине плоскости, если на верхней половине он равен μ₁? Угол наклона плоскости равен α. [Смотрите ответ в общем файле]

7.30. На наклонной плоскости лежит шайба. Причем коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью μ > tg α, где α — угол наклона плоскости. К шайбе прикладывают горизонтальную силу. При этом шайба начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v₁. Найти установившуюся скорость v₂ скатывания шайбы с плоскости. [Смотрите ответ в общем файле]

7.31. На гладкой наклонной плоскости (рисунок слева) с углом наклона α лежат два бруска с массами m₁ и m₂, связанные нитью, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения между брусками равен μ. При каком отношении масс бруски будут неподвижны? [Смотрите ответ в общем файле]

7.32. На наклонной плоскости лежит шайба. Угол наклона плоскости α, коэффициент трения μ, масса шайбы m. Известно, что μ > tg α. Какую горизонтальную силу F, направленную вдоль плоскости, параллельно нижнему ребру, надо приложить к шайбе, чтобы сдвинуть ее с места? [Смотрите ответ в общем файле]

7.33. Клин массой M лежит на горизонтальной плоскости. По его боковой грани, наклоненной под углом α к горизонту, скользит без трения брусок массой m. При каком коэффициенте трения между клином и плоскостью клин будет стоять на месте? [Смотрите ответ в общем файле. Примечание: уточнение к ответу задачи 7.33 смотрите на этой странице в первом комментарии ]

7.34. Тело массой m = 1 кг лежит у основания наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. На тело начинает действовать постоянная сила F, направленная вверх вдоль плоскости. Спустя время t_o сила прекращает действовать, а спустя еще 3t_o тело возвращается обратно к основанию плоскости. Определить величину силы F, если трения нет. [ F ≅ 11.4 Н. Смотрите формулу в общем файле]

7.35. На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий клин массой M с углом наклона α. На клин кладут брусок массой m. С какой горизонтальной силой нужно действовать на брусок, чтобы он не скользил по клину? [Смотрите ответ в общем файле]

7.36. Определить ускорение клина в системе, изображенной на рисунке слева. Трения нет, нить и блок идеальны. Верхний участок нити горизонтален. [Смотрите ответ в общем файле]

7.37. Определить ускорения тел в приведенной системе (рисунок слева). Массы тел одинаковы, коэффициент трения тоже одинаков и равен μ. Нить и блок идеальны. [Смотрите ответ в общем файле]

7.38. Клин с углом наклона α и массой M лежит на горизонтальной поверхности (рисунок слева). На него кладут брусок массой m, к которому привязана нить, перекинутая через блок. С какой горизонтальной силой надо тянуть за нить, чтобы брусок по клину не скользил? Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

7.39. На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин массой M с углом при основании α. По клину без трения соскальзывает брусок массой m. Определить ускорение клина. [Смотрите ответ в общем файле]

7.40. Наклонная плоскость длиной l = 1 м наклонена под углом α = 30° к горизонту. Сверху без начальной скорости отпускают небольшое тело. Одновременно снизу вверх вдоль плоскости толкают такое же тело. С какой скоростью необходимо толкнуть нижнее тело, чтобы верхнее после абсолютно упругого столкновения с нижним доехало до своей исходной точки. Трения нет. Одинаковые тела при встречном абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями. [Смотрите ответ в общем файле]

7.41. Два тела, связанные нитью, движутся вниз с ускорением вдвое большим ускорения свободного падения. Во сколько раз сила натяжения нити, за которую тянут тела больше силы натяжения нити, связывающей тела? Масса нижнего тела в три раза больше массы верхнего. [Смотрите ответ в общем файле]

7.42. При какой максимальной силе F верхний брусок еще не будет скользить по нижнему (рисунок слева)? Массы брусков m₁ и m₂, коэффициент трения между брусками μ, поверхность стола гладкая. [Смотрите ответ в общем файле]

7.43. Какую силу необходимо приложить к нижнему бруску (рисунок слева), чтобы выдернуть его из-под верхнего? Коэффициенты трения для верхнего и нижнего брусков — μ₁ и μ₂, а их массы m₁ и m₂. [Смотрите ответ в общем файле]

7.44. Горизонтальная поверхность совершает горизонтальные колебания. При этом в течение времени t поверхность движется с постоянной скоростью и в одном направлении, затем в течение того же времени и с той же скоростью в противоположном направлении и т. д. На поверхность кладут кусочек мела. Коэффициент трения мела о поверхность равен μ. Какой длины след оставит мел на поверхности? [Смотрите ответ в общем файле]

7.45. Тонкое резиновое кольцо жесткостью k и массой m, лежащее на горизонтальной поверхности, начинают медленно раскручивать вокруг его оси. При какой угловой скорости длина кольца увеличится вдвое? При какой угловой скорости кольцо обязательно разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до момента разрыва кольца. [Смотрите ответ в общем файле]

7.46. Если к пружине поочередно подвешивать грузы с массами m₁ и m₂, то ее длина оказывается равна соответственно l₁ и l₂. Определить жесткость пружины и ее собственную длину. [Смотрите ответ в общем файле]

7.47. Два шара с массами M и m соединены нитью и подвешены к пружине как показано на рисунке слева. Если перерезать нить в случае а), то шар M придет в движение с ускорением a₁. Каково будет ускорение шара m, если перерезать нить в случае б)? [Смотрите ответ в общем файле]

7.48. Два тела с массами m₁ и m₂ соединены пружиной жесткости k (рисунок слева). На тело m₂ начинает действовать постоянная сила F в направлении тела m₁. Найти деформацию пружины при установившемся движении. Каким будет ускорение тел сразу после прекращения действия силы? Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

7.49. На горизонтальном столе лежат два одинаковых груза массой m, скрепленных пружиной жесткости k (рисунок слева). К грузам на нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешен третий такой же груз. Найти удлинение пружины при установившемся движении системы. Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

Читайте также: