Задачи на вероятность круглый стол

Обновлено: 01.06.2024

Задача 2. Множество Е состоит из первых десяти букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Сколько 4-буквенных слов может быть получено в данном опыте? Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой а?

Решение.N(Ω) – число всех 4-буквенных слов в данном опыте – равно числу 4-элементных упорядоченных множеств из 10-ти элементов, т.е.

Пусть событие А =Е оканчивается буквой a>. Число элементов множества А равно числу способов разместить на три оставшиеся места по одному символу из 9 (символ а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже определено); таким образом,

Задачи.

Числа 1, 2, . 9 записываются в случайном порядке. В зада­чах 2.30.-2.32. найти вероятности указанных событий.

2.33.Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

2.34.Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной
стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два
определенных лица окажутся рядом, если

а) число мест равно 8;

б) число мест равно 12.

2.35.На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт
состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их
в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности
следующих событий: А = , В = число, не содержащее цифры 3>.

2.37.п человек входят в комнату, где имеется всего m стульев , и рассаживаются случайным образом, но так, что все стулья оказываются занятыми.

а) Показать, что число всех способов рассаживания определяется формулой .

б) Какова вероятность того, что два определенных лица ока­жутся без места?

в) Какова вероятность того, что k определенных лиц будут сидеть ?

2.38.п мужчин и п женщин случайным образом рассажива­ются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий:
А = , В = мужчины будут сидеть рядом>.

2.39.10 вариантов контрольной работы, написанные каждый
на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются слу­чайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду,
причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятности
следующих событий: А = неиспользованными>, В = , С = номера вариантов>.

2.40.12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случай­ным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Ка­кова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовав­шейся очереди окажутся ровно 5 человек?

2.41.Из ящика, содержащего n перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия. Найти
вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку:
1, 2, . п.

Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями. Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества , но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 наборы и неразличимы для данного эксперимента, а набор отличен от любого из предыдущих. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой

Задачи на вероятность круглый стол

Тип 3 № 325905

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна

Другое решение:

Число способов рассадить 5 человек по пяти стульям равняется 5!

Благоприятным для нас исходом будет вариант рассадки, когда на «первом» стуле сидит девочка, и на соседнем справа сидит девочка, а на остальных трёх произвольно рассажены мальчики. Количество таких исходов равно 2 · 1 · 3! Так как «первым» стулом может быть любой из пяти стульев (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить на 5. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом равна

Тип 3 № 325907

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна

А вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом равна

Число способов рассадить 5 человек по пяти стульям равняется

Неблагоприятным для нас исходом будет вариант рассадки, когда на "первом" стуле сидит девочка, и на соседнем справа сидит девочка, а на остальных трёх произвольно рассажены мальчики. Количество таких исходов равно Так как "первым" стулом может быть любой из пяти стульев (стулья стоят по кругу), то количество благоприятных исходов нужно умножить на 5.

Таким образом, вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом равна

Тип 3 № 325909

За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна

Приведём другое решение.

Рассмотрим сидящую за столом девочку. Вероятность того, что на одно из двух мест справа или слева рядом с ней сядет мальчик, равна 199/200. Вероятность того, что рядом с этим мальчиком сядет ещё одна девочка, равна 1/199. По правилу произведения получаем:

Приведём ещё одно решение.

Всего способов рассадить 201 человек на 201 стул равно Из них благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит девочка (на это есть два варианта), через один стул справа от неё сидит девочка (один вариант), а на остальных ста девяноста девяти стульях произвольно рассажены мальчики (199! вариантов). Всего благоприятных исхода. Так как «первым» стулом может быть любой из двухсот одного стула (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 201. Таким образом, вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна

А и Б сидели… за столом, или Ещё раз про вероятность на ОГЭ и ЕГЭ

В сборниках для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ предлагают задачи на вероятность с таким сюжетом: несколько детей становятся в хоровод или рассаживаются за столом.

Интернет тут же откликнулся на предложение и выдаёт решения подобных задач в виде текстов и видео. Беда только в том, что решения эти неверные в том смысле, что хоть и приводят к верному ответу, но являются решениями совсем других задач, формируют неправильное представление о числе всех равновозможных случаев в эксперименте.

Начнём с простой задачи.

1. За круглый стол в случайном порядке рассаживаются два мальчика и две девочки. Определите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.

Пусть A и B — девочки, C и D — мальчики. Места за столом нумеруем по часовой стрелке, как на рисунке.

A могла занять любое из четырёх мест, в каждом из этих случаев вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах, одна и та же, поэтому искомая вероятность равна вероятности, найденной в одном из этих четырёх случаев. Переформулируем задачу так, чтобы ответ, полученный при её решении, дал ответ к задаче 1.

1.1. За круглый стол рассаживаются два мальчика и две девочки. Одна девочка заняла место. Определите вероятность того, что при дальнейшем рассаживании в случайном порядке девочки не окажутся на соседних местах.

Пусть A заняла место 1. B может оказаться на любом из трёх свободных мест — 2, 3, 4. В любом из этих случаев есть 2! = 2 способа рассаживания двух мальчиков на два места, поэтому число всех равновозможных случаев рассадки равно 3 ∙ 2 = 6. Они изображены на рисунке.

Из этих шести случаев событие «девочки не окажутся на соседних местах» произойдёт только тогда, когда B займёт место 3. Как только это произойдёт, у С и D останется 2! = 2 способа занять свободные места. То есть событию «девочки не окажутся на соседних местах» благоприятствуют 1 ∙ 2 = 2 случая.

Тогда искомая вероятность равна P = 2/6 = 1/3.

Заметим, что для задачи 1 число всех равновозможных случаев равно 6 ∙ 4 = 24, а число случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах» равно 2 ∙ 4 = 8.

Число способов, которыми 2 мальчика займут 2 места одно и то же — как при подсчёте числа всех равновозможных случаев, так и при подсчёте числа случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах». В более сложной задаче число случаев рассадки мальчиков можно не находить, обозначив его буквой, а при вычислении вероятности сократить дробь на это число. Но нельзя не упоминать его, если мы говорим про число всех равновозможных случаев .

А как решают подобные задачи в Интернете? Покажем на неверном решении нашей задачи.

Неверное решение. Пусть A заняла место 1. B может занять свободное место тремя способами — это и есть число всех равновозможных случаев (это число равно 6 в задаче 1.1 и 24 в задаче 1 ). Только в одном из них девочки не окажутся на соседних местах, т. е. число случаев, благоприятствующих событию «девочки не окажутся на соседних местах», равно 1 (это число равно 2 в задаче 1.1 и 8 в задаче 1 ). Поэтому искомая вероятность равна 1/3.

Получение верного ответа, не говорит о том, что решение задачи верное. Вот пример видео, на котором число способов рассаживания мальчиков даже не упоминается.

Давайте запишем правильное решение задачи из видео.

2. За круглый стол в случайном порядке рассаживаются три мальчика и две девочки. Определите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Девочка A может занять любое из пяти мест, но в каждом из этих случаев вероятность события «девочки будут сидеть рядом» одна и та же, поэтому для решения задачи достаточно вычислить вероятность в одном из этих случаев.

Пусть A заняла место 1. B может оказаться на любом из четырёх свободных мест — 2, 3, 4, 5. В каждом из этих случаев есть k ( k = 3!) способов рассадить трёх мальчиков на три свободных места, поэтому число всех равновозможных случаев рассадки равно 4 k . Девочки будут сидеть рядом, если B займёт место 2 или 5 — 2 случая. В каждом из них есть k способов рассадить трёх мальчиков на три свободных места, т. е. число случаев, благоприятствующих событию «девочки будут сидеть рядом», равно 2 k . Поэтому искомая вероятность равна 2 k /4 k = 0,5.

Если мы учим элементам теории вероятностей, то без обсуждения числа способов рассадить мальчиков решение задачи неверное. Если же нам важно получить балл за задачу и не важно, что выпускник не понимает, про что эта задача, то можно и дальше учить детей по кулинарной книге «Интернет» с набором готовых рецептов.

Остаётся актуальным вопрос: для чего элементы теории вероятностей включены в итоговую аттестацию? Надеюсь, что не для того, чтобы формировать у учащихся искажённые представления о ней.

Читайте также: