Во сколько раз ускорение бруска относительно стола в этом опыте больше чем ускорение тележки
Обновлено: 02.05.2024
Толкнем лежащий на столе брусок, сообщив ему некоторую начальную скорость. Мы увидим, что брусок скользит по столу и его скорость уменьшается до полной остановки (на рисунке 17.1 показаны последовательные положения бруска через равные промежутки времени). Как вы уже знаете из курса физики основной школы, тормозит брусок силы трения скольжения, действующая на него со стороны стола.
Силы трения скольжения действуют на каждое из соприкасающихся тел, когда они движутся друг относительно друга.
Эти силы действуют на каждое из соприкасающихся тел (рис. 17.2). Они равны по модулю и противоположны по направлению, потому что связаны третьим законом Ньютона.
Когда брусок скользит по столу, мы не замечаем силу трения скольжения, действующую на стол со стороны бруска, потому что стол прикреплен к полу (или на стол со стороны пола действует довольно большая сила трения покоя, речь о которой пойдет далее).
Если же толкнуть брусок, лежащий на тележке, то под действием силы трения скольжения, действующей на тележку со стороны бруска, тележка станет двигаться с ускорением, а скорость бруска относительно тележки будет уменьшаться.
? 1. Во сколько раз ускорение бруска относительно стола в этом опыте больше, чем ускорение тележки относительно стола, если масса бруска 200 г, а масса тележки 600 г? Трением между тележкой и столом можно пренебречь.
Силы трения скольжения направлены вдоль поверхности соприкосновения тел. Действующая на каждое тело сила трения направлена противоположно скорости этого тела относительно другого тела.
Силы трения скольжения обусловлены главным образом зацеплением и разрушением неровностей соприкасающихся тел (эти неровности на рисунке 17.3 для наглядности преувеличены). Поэтому обычно чем более гладкие поверхности соприкасающихся тел, тем меньше силы трения между ними.
Однако если сделать соприкасающиеся поверхности очень гладкими (например, отшлифовать их), то сила трения скольжения может увеличиться вследствие действия сил межмолекулярного притяжения.
Выясним, от чего зависит сила трения скольжения.
От чего зависит сила трения скольжения?
Поставим опыт
Будем с помощью динамометра тянуть брусок по столу с постоянной скоростью (рис. 17.4, а), прикладывая к нему горизонтально направленную силу упр.
При движении с постоянной скоростью ускорение бруска равно нулю. Следовательно, силу трения скольжения, действующую на брусок со стороны стола, уравновешивает сила упругости, действующая на брусок со стороны динамометра. Значит, эти силы равны по модулю, то есть динамометр показывает модуль силы трения.
Повторим опыт, положив на брусок другой такой же брусок (рис. 17.4, б). Мы увидим, что сила трения скольжения увеличилась в 2 раза. Заметим теперь, что в этом опыте (по сравнению с опытом с одним бруском) сила нормальной реакции тоже увеличилась в 2 раза.
Изменяя силу нормальной реакции, можно убедиться, что модуль силы трения скольжения Fтр пропорционален модулю силы нормальной реакции N:
Как показывает опыт, сила трения скольжения практически не зависит от относительной скорости движения соприкасающихся тел и от площади их соприкосновения.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения. Его определяют из опыта (см. лабораторную работу 4). Он зависит от материала и качества обработки соприкасающихся поверхностей. На форзаце задачника (под обложкой) приведены приближенные значения коэффициента трения для некоторых видов поверхностей.
Коэффициент трения шин по мокрому асфальту или по льду в несколько роз меньше коэффициента трения шин по сухому асфальту. Поэтому тормозной путь автомобиля значительно увеличивается во время дождя или гололеда. О скользкой дороге водителей предупреждает дорожный знак (рис. 17.5).
? 2. Тело массой m движется по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между телом и поверхностью μ.
а) Чему равна сила трения скольжения?
б) С каким по модулю ускорением движется тело, если на него действуют только сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения скольжения?
? 3. Лежащему на столе бруску сообщили скорость 2 м/с, и он прошел до остановки 1 м (тормозной путь). Чему равен коэффициент трения между бруском и столом?
? 4. Можно приближенно считать, что на автомобиль при торможении действует сила трения скольжения. Оцените, чему равен тормозной путь автомобиля на сухом асфальте и на льду при начальной скорости 60 км/ч; 120 км/ч. Сравните найденные значения с длиной классной комнаты.
Полученные ответы удивят вас. Наверное, вы станете осторожнее на дороге во время дождя и особенно гололеда.
2. Сила трения покоя
Поставим опыт
Попробуйте сдвинуть с места шкаф (рис. 17.6). Он будет оставаться в покое, даже если прикладывать к нему довольно большую силу.
Какая же сила уравновешивает горизонтально направленную силу, приложенную вами к шкафу? Это сила трения покоя, действующая на шкаф со стороны пола.
Силы трения покоя возникают при попытке сдвинуть одно из соприкасающихся тел относительно другого в том случае, когда тела остаются в покое друг относительно друга. Эти силы препятствуют относительному движению тел.
? 5. Действует ли сила трения покоя на пол со стороны шкафа (рис. 17.6)?
Причины возникновения силы трения покоя сходны с причинами возникновения силы трения скольжения: наличие неровностей на соприкасающихся поверхностях тел и действие сил межмолекулярного притяжения.
Будем постепенно увеличивать приложенную к шкафу горизонтальную силу. При достижении некоторого ее значения шкаф сдвинется с места н начнет скользить по полу. Следовательно, модуль силы трения покоя Fтр.пок не превышает некоторого предельного значения, называемого максимальной силой трения покоя.
Опыт показывает, что максимальная сила трения покоя немного больше силы трения скольжения. Однако для упрощения решения школьных задач принимают, что максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения:
Если тело покоится, то сила трения покоя тр.пок уравновешивает силу , направленную вдоль поверхности соприкосновения тел и стремящуюся сдвинуть тело.
Следовательно, в этом случае
Если же F > μN, то тело начнет скользить, и на него будет действовать сала трения скольжения. В таком случае
Соотношения (3) и (5) иллюстрирует график зависимости силы трения Fтр от приложенной к телу силы F (рис. 17.7).
? 6. К лежащему на столе бруску массой 1 кг прикладывают горизонтальную силу, равную по модулю F. Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3. Чему равна действующая на брусок со стороны стола сила трения, если F = 2 Н? F = 5 Н?
? 7. Тягач тянет по горизонтали связку бревен массой 10 т с силой 40 кН. Чему равно ускорение связки, если коэффициент трения между бревнами и дорогой равен 0,3? 0,5?
? 8. Находящийся на столе брусок массой 1 кг тянут горизонтальной пружиной жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения 0,3. Каково удлинение x пружины, если брусок покоится? движется со скоростью 0,5 м/с?
Может ли сила трение быть движущей силой?
Делая шаг, человек толкает дорогу назад, действуя на нее силой трения покоя тр1: ведь подошва во время толчка покоится относительно дороги (на это иногда указывает четкий отпечаток подошвы) (рис. 17.8, а). Согласно третьему закону Ньютона, со стороны дороги на человека действует такая же по модулю сила трения покоя тр2, направленная вперед.
Сила трения покоя разгоняет и автомобиль (рис. 17.8, б). Когда колесо катится без проскальзывания, его нижняя точка покоится относительно дороги. Ведущее колесо автомобиля (приводимое во вращение двигателем) толкает дорогу назад, действуя на нее силой трения покоя тр1. Согласно третьему закону Ньютона, дорога при атом толкает колесо (а вместе с ним и автомобиль) вперед силой трения покоя тр2. Именно эту силу и называют часто силой тяги.
? 9. С какой целью локомотивы (электровозы и тепловозы) делают очень массивными?
? 10. Коэффициент трения между шинами ведущих колес автомобиля и дорогой равен 0,5. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
а) С каким максимально возможным ускорением может двигаться автомобиль, если все его колеса – ведущие?
б) Увеличилось бы или уменьшилось максимально возможное ускорение автомобиля, если ведущими были бы только передние или только задние колеса? Обоснуйте свой ответ.
Подсказки. Ускорение автомобиля обусловлено действием силы трения покоя со стороны дороги.
Дополнительные вопросы и задания
11. На рисунке 17.9 приведены графики зависимости силы трения скольжения от силы нормальной реакции при движении по столу трех разных брусков. Между каким бруском и столом коэффициент трения наибольший? Чему он равен?
12. На столе лежит стопка из четырех одинаковых книг массой 500 г каждая (рис. 17.10). Коэффициент трения между обложками книг равен 0,4. Какую горизонтально направленную силу надо приложить, чтобы, придерживая остальные книги:
а) сдвинуть книгу 4?
б) сдвинуть книги 3 и 4 вместе?
в) вытащить книгу 3?
г) вытащить книгу 2?
13. Оцените, до какой скорости может разогнаться за 2 с автомобиль на мокром асфальте. Все его колеса ведущие.
§ 37. Примеры решения задач по теме «Силы трения» (окончание)
Задача 5. Брусок массой 5 кг тянут по поверхности стола, взявшись за кольцо динамометра. При этом ускорение тела равно 0,5 м/с 2 . Жёсткость пружины равна 200 Н/м Определите растяжение пружины. Коэффициент трения бруска о стол 0,05.
Р е ш е н и е. На брусок действуют сила тяжести m тp, сила натяжения пружины yпp и сила нормальной реакции опорыСогласно второму закону Ньютона
m + тp + yпp.
В проекции на горизонталь уравнение запишем в виде mа = Fyпp - Fтp.
Сила трения Fтp = μN = μmg.
Сила упругости Fyпp = -kx.
Тогда mа = kx - μmg.
Удлинение пружиныЗадача 6. Два бруска массами m1 = 1 кг и m2 = 3 кг соединены нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Брусок с большей массой находится на наклонной плоскости, угол у основания которой равен 30°, коэффициент трения равен 0,04. Определите ускорение брусков.
Согласно второму закону Ньютона запишем:
m1 1 = m1 1, (1)m2 2 = m2 2 + тp +
Рассматриваем движение тел относительно одного тела отсчёта, например относительно наклонной плоскости. Модули ускорений брусков равны вследствие условия нерастяжимости нити: а1 = а2 = а.
Для записи уравнений в проекциях на оси надо знать направления сил. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости бруска. Сила трения может быть направлена и вверх, и вниз вдоль наклонной плоскости.
Рассчитаем, в какую сторону происходит движение брусков. Движение бруска 2 влево обеспечивает проекция силы тяжести на ось X, равная m2g sinα = 15 Н, а вправо — сила тяжести, действующая на брусок 1, равная 10Н. Следовательно, брусок 2 движется вниз и сила трения направлена вверх.
В проекции на ось Y1 уравнение (1) запишем в виде
В проекциях на оси X и Y уравнение (2) запишем в виде
Сила трения Fтр = μN = μm2g cosα.
Силы натяжения, действующие на бруски, равны в силу невесомости блока и нити: Т1 = Т2 = Т.
Уравнения (3) и (4) перепишем в виде
Сложив левые и правые части этих уравнений, получим (m1 + m2)а = -m1g + m2g sinα - μm2 cosα.
Окончательно для определения ускорения имеем выражение
Задачи для самостоятельного решения
1. При быстром торможении автомобиль начал двигаться по горизонтальной дороге юзом (заторможенные колёса не вращаются, а скользят по дороге). С каким ускорением при этом движется автомобиль и через сколько времени от начала торможения автомобиль остановится, если его начальная скорость υ0 = 20 м/с, а коэффициент трения колёс о дорогу μ = 0,8?
2. Груз массой 97 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, образующей угол 30° с горизонтом. Определите силу натяжения верёвки, если коэффициент трения равен 0,2.
Образцы заданий ЕГЭ
С1. К покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности телу приложена нарастающая с течением времени сила тяги F = bt, где b — постоянная величина. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени действия силы. Определите коэффициент трения скольжения.
C2. По горизонтальной дороге мальчик тянет сани массой 30 кг за верёвку, направленную под углом 60° к плоскости дороги, с силой 100 Н. Коэффициент трения 0,12. Определите ускорение саней. Чему равен путь, пройденный санями за 5 с, если в начальный момент времени их скорость была равна нулю?
Повторите материал главы 3 по следующему плану
1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение.
2. Сформулируйте законы и запишите основные формулы.
3. Укажите единицы физических величин и их выражение через основные единицы СИ.
4. Опишите основные опыты, подтверждающие справедливость законов.
1. Оптимальные условия запуска космических кораблей, изучающих планеты Солнечной системы.
2. Опасность столкновения планет и их спутников с астероидами, кометами.
3. От рессоры до современных амортизаторов.
4. Зависимость силы сопротивления от формы тела. Спортивные модели автомобилей.
Движение системы тел. Учет трения между телами системы
Пусть на гладком столе лежит доска длиной L и массой mд. На краю доски находится небольшой брусок массой mб (рис. 24.1). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент доска покоится, а бруску толчком сообщают начальную скорость 0, направленную вдоль доски.
Как будут двигаться тела?
При скольжении бруска по доске на него и на доску действуют противоположно направленные равные по модулю силы трения скольжения тр1 и тр2 (рис. 24.2). В результате скорость бруска будет уменьшаться, а скорость доски – увеличиваться.
Возможны два варианта дальнейшего развития событий:
1) брусок будет скользить по доске, пока их скорости не станут равными, то есть пока брусок не остановится относительно доски. Начиная с этого момента силы трения перестанут действовать на доску и брусок, и они будут скользить по гладкому столу вместе как единое целое с постоянной конечной скоростью к (рис. 24.3);
2) скорости бруска и доски не успеют сравняться до того момента, когда брусок дойдёт до противоположного конца доски. В таком случае брусок соскользнёт с доски, после чего они будут двигаться по столу с различными скоростями б и д, причём vб > vд (рис. 24.4).
Рассмотрим сначала случай, когда доска с бруском будут двигаться как единое целое (см. рис. 24.3), и выведем условие, при котором этот случай реализуется.
? 1. Как зависят от времени проекции скорости бруска и доски на ось x, показанную на рисунке 24.1?
? 2. Через какой промежуток времени доска и брусок будут двигаться как единое целое?
? 3. Чему будет равна скорость доски с бруском, когда они будут двигаться как единое целое?
Найдём теперь условие того, что брусок будет скользить по доске до тех пор, пока их скорости не сравняются.
Так произойдёт, если путь l, пройденный бруском относительно доски, не превышает длины доски L. Путь l мы найдём, определив ускорение бруска относительно доски.
? 4. Чему равно ускорение бруска относительно доски?
? 5. Чему равен путь l, пройденный бруском относительно доски до того момента. когда их скорости сравнялись?
? 6. При выполнении какого условия доска и брусок будут двигаться как единое целое?
Рассмотрим конкретный пример.
? 7. Небольшой брусок массой 200 г находится на краю доски массой 1 кг, лежащей на гладком столе. Коэффициент трения между доской и бруском 0,5. В начальный момент скорость бруска 2,4 м/с, а доска покоится. Через некоторое время брусок и доска стали двигаться как единое целое.
а) С каким ускорением относительно доски двигался брусок?
б) Сколько времени брусок двигался по доске?
в) Какова минимально возможная длина доски?
г) Чему равна скорость доски с бруском, когда они движутся как единое целое?
Пусть теперь условие того, что доска и брусок станут двигаться как единое целое, не выполнено. Тогда брусок соскользнёт с доски, и скорость каждого тела при дальнейшем скольжении по столу останется такой, какой она была в момент соскальзывания бруска.
Чтобы найти конечные скорости бруска и доски, можно поступить, например, так.
1) Зная длину доски L, начальную скорость бруска v0 и ускорение бруска относительна доски, найдём время tск, в течение которого брусок будет скользить по доске.
2) Зная время tск, найдём скорости бруска и доски в момент соскальзывания бруска с доски. С этими скоростями они и будут скользить далее по столу.
Воспользуйтесь этими советами при выполнении следующего задания.
? 8. Небольшой брусок массой 400 г находится на краю доски длиной 1 м и массой 800 г, лежащей на гладком столе (рис. 24.1). Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. В начальный момент скорость бруска 3 м/с, а доска покоится.
а) С каким по модулю ускорением движется брусок относительно доски?
б) Какой должна была бы быть длина доски, чтобы скорость бруска относительно доски стала равной нулю?
в) Сколько времени брусок движется по доске согласно условию задания?
г) Чему равна скорость бруска относительно стола в тот момент, когда брусок соскользнёт с доски?
д) Какой путь пройдёт доска относительно стола до того момента, когда брусок соскользнёт с доски?
2. Тела в начальном состоянии покоятся друг относительно друга
На гладком столе лежат один на другом два бруска (рис. 24.5). Массу нижнего бруска обозначим mн‚ в массу верхнего — mв. Коэффициент трения между брусками μ.
К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную вправо силу Самое главное в таких задачах — увидеть две возможности:
1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга — тогда между ними будут действовать силы трения скольжения;
2) бруски могут начать двигаться как единое целое — тогда между ними будут действовать силы трения покоя.
Начнём с первой возможности: в таком случае модуль силы трения скольжения, действующей на каждое тело, равен μmвg. Модуль же силы трения покоя заранее неизвестен.
? 9. Объясните, почему в случае, когда верхний брусок скользит по нижнему, их ускорения относительно стола выражаются формулами
Учтём теперь, что сила
? 10. Объясните, почему бруски будут двигаться друг относительно друга, если
? 11.На столе стоит тележка массой 500 г, а на ней лежит кирпич массой 2,5 кг. Коэффициент трения между кирпичом и тележкой 0,5, трением между тележкой и столом можно пренебречь. С какой горизонтальной силой надо тянуть кирпич, чтобы стащить его с тележки?
Итак, чтобы стащить тяжёлый кирпич со сравнительно лёгкой тележки, надо приложить к нему горизонтальную силу, которая в несколько раз превышает вес кирпича!
? 12. Объясните, почему тела движутся как единое целое, если
? 13. Объясните, почему, когда бруски движутся как единое целое, их (общее) ускорение а и модуль действующей на каждый брусок силы трения покоя Fтр.пок выражаются формулами
Рассмотрим теперь пример, когда горизонтальная сила приложена к нижнему бруску.
Пусть на гладком горизонтальном столе лежит брусок массой mн, а на нём — брусок массой mв (рис. 24.6). Коэффициент трения между брусками μ. К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшеивая через блок, а к нити подвешен груз массой mг. Как будут двигаться тела?
В этой ситуации тоже есть две возможности:
1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга;
2) бруски могут начать двигаться как единое целое.
На этот раз проще начать со второй возможности, потому что, когда бруски движутся как единое целое, мы можем рассматривать систему, состоящую только из двух тел — объединённого бруска массой M = mв + mн и груза массой mг.
? 14. С каким ускорением движутся бруски как единое целое?
? 15. С каким максимально возможным ускорением могут двигаться бруски как единое целое?
Подсказка. Ускорение верхнему бруску сообщает сила трения покоя, которая не превышает силу трения скольжения.
? 16. Объясните, почему бруски движутся как единое целое, если выполнено соотношение
Если это соотношение не выполнено. то бруски будут двигаться порознь. Ускорение верхнему бруску сообщает в таком случае сила трения скольжения, равная по модулю μmвg. Такая же по модулю, но противоположно направленная сила трения скольжения действует на нижний брусок.
? 17. Каковы ускорения брусков, если они движутся друг относительно друга?
? 18. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой mн = 0,5 кг, а на нём — другой брусок массой mв = 0,3 кг (см. рис. 24.6). К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшенная через блок, и к нити подвешен груз массой mг = 0,2 кг. В начальный момент бруски покоятся.
а) При каком наименьшем коэффициенте трения μmin между брусками они будут двигаться как единое целое?
б) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски при коэффициенте трения между ними 0,5?
в) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски, если коэффициент трения между ними равен 0,1?
19. На гладком столе лежит доска длиной l и массой M. На одном конце доски находится небольшой брусок массой m (рис. 24.7). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент тела покоятся. Какую наименьшую скорость надо толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
20. На гладком столе лежат один на другом три одинаковых бруска массой m = 100 г каждый (рис. 24.8). Коэффициент трения между брусками μ = 0,2. К среднему бруску приложена горизонтально направленная сила а) С каким максимально возможным ускорением может двигаться верхний брусок?
б) С каким максимально возможным ускорением может двигаться нижний брусок?
в) При каких значениях силы F все бруски будут двигаться как единое целое?
Во сколько раз ускорение бруска относительно стола в этом опыте больше чем ускорение тележки
В задаче рассматривается поступательное движение двух соприкасающихся тел, между которыми, по условию, действует сила трения. Наличие ее позволяет предполагать, что при некоторых значениях приложенной силы $F$ брусок и тележка движутся вместе с одинаковым ускорением, а при больших значениях силы $F$ брусок начнет обгонять тележку, будет скользить по ней. Если относительная скорость $v^< \prime>$ бруска (скорость бруска относительно тележки) равна нулю, то сила трения будет силой трения покоя и может принимать любое значение от 0 до $f_ = kN$, т. е. $f_ \leq kN$, где $N$ — сила нормальной реакции при действии одного тела на другое. Если $v^ < \prime>\neq 0$, то сила трения будет силой трения скольжения $f_ = kN^$.
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости (либо в сторону, противоположную относительной скорости, которая появилась бы при отсутствии трения). Поэтому силы трения, действующие на тележку и брусок, направлены так, как показано на рис., причем $f_^ < \prime>= f_$. Помимо силы трения на тележку действуют сила тяжести, сила нормального давления бруска и сила нормальной реакции рельсов. (Сила трения между тележкой и рельсами, по условию, отсутствует.) Все эти три силы вертикальны и взаимно компенсируют друг друга. На брусок действуют также вертикальные силы тяжести $m_ \vec$ и нормальной реакции тележки $\vec_ = - m_ \vec$ и горизонтальные силы $\vec$ и $\vec_$.
Поскольку начальные скорости отсутствуют, то характер сил трения определяется соотношением между ускорениями обоих тел:
Поскольку вертикальные силы, действующие на каждое из тел, скомпенсированы, то уравнения движения для каждого из тел сразу запишем в скалярной форме (для проекций на ось X):
Найдем из системы уравнений (1) значения $F$, при которых $a_ = a_ = a$:
В этом случае $v^ < \prime>= 0$ и $f_ \leq kN_ = km_g$. Тогда
$F = ct \leq km_g (m_ + m_)/m_$.
Следовательно, при $t t^$ ускорения тел различны, но сила трения имеет определенное значение: $f_ = km_g$. Тогда [см. (1)]
$m_a_ = km_g, m_a_ = ct - km_g$,
Ускорение $a_$ бруска растет линейно со временем начиная от значения
График зависимости ускорений от времени можно построить на основании выражений (2),(3). При $t t^$ график $a_(t)$ — прямая, параллельная оси абсцисс, график $a_(t)$ — прямая, идущая вверх более круто (рис.).
2017-01-14 Клин, наклонная поверхность которого образует угол а с горизонтом, может перемещаться поступательно по горизонтальной поверхности. На клине находится брусок, который тянут за перекинутую через блок нить (см. рис.). С какой силой $F$ следует тянуть нить в горизонтальном направлении, чтобы брусок скользил вверх по наклонной поверхности клина? С какими ускорениями будут двигаться при этом брусок и клин? Масса клина $M$, масса бруска $m$. Трением, массой нити и массой блока пренебречь. В начальный момент времени клин и брусок покоятся.
рис.1
рис.2
рис.3
На рис. 1 показаны силы, действующие на брусок. Это силы тяжести $m \vec$, сила $\vec$ реакции клина, нормальная к его поверхности и сила $\vec$ со стороны нити. На рис. 2 показаны силы, действующие на клин. Это силы $\vec_$ и $\vec_$ со стороны нити, перекинутой через блок, сила $\vec_ = - \vec$ давления со стороны бруска (здесь учитывается III закон Ньютона для взаимодействия бруска и клина), сила тяжести $M \vec$ и сила $\vec_$ реакции со стороны горизонтальной поверхности. Благодаря пренебрежению массами блока и нити и трением в блоке справедливо
$T = T_ = T_ \equiv F$, (1)
где $F$ — искомая сила, прикладываемая к нити.
В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения бруска в соответствии со вторым законом Ньютона записывается в виде:
$m \vec + \vec + \vec = m \vec$, (2)
В проекциях на оси системы координат с горизонтальной (x) и вертикальной (y) осями уравнение (2) дает
$F \cos \alpha - N \sin \alpha = ma_$, (4)
$F \sin \alpha + N \cos \alpha - mg = ma_$, (5)
Теперь проектируем уравнение (3) на ось $x$:
$F - F \cos \alpha + N \sin \alpha = Ma_$, (6)
Системы уравнений (4)-(6) содержат пять неизвестных величин: $F, N, a_, a_$ и $a_$. Однако не все они независимы. Как видно на рис. 3, условие того, что брусок перемещается по наклонной поверхности клина, дает соотношение
$a_ = (a_ - a_) tg \alpha$. (7)
Решаем систему уравнений (4)-(7) относительно $a_, a_, a_$ и $N$:
Довольно громоздкие выражения (8)—(11) удовлетворяют, как нетрудно убедиться, предельным случаям, в которых ответ очевиден. Например, при $\alpha = 0$ (что соответствует горизонтальной подставке вместо клина) должно быть $a_ = F/m, a_ = 0, a_ = 0, N = mg$, что действительно получается из приведенных выражений.
Далее, при $M \rightarrow \infty$ (что соответствует закрепленному клину) должно быть $a_ = F \cos \alpha /m - g \sin \alpha, a_ = F \sin \alpha /m - g \sin^ \alpha, x_ = 0, N = mg \cos \alpha$. Эти выражения также получаются из (8)—( 10) при предельном переходе $M \rightarrow \infty$.
С помощью выражений (8)—(11) нетрудно найти ответ на первый вопрос задачи. Так как в начальный момент времени по условия задачи брусок и клин покоятся, то брусок будет перемещаться вверх по поверхности клина при выполнении условия
Однако это не единственное условие. Брусок будет оставаться на поверхности клина при выполнении условия
Если это условие не выполняется, брусок отрывается от поверхности клина и движется под действием двух сил — $mg$ и $F$.
Используя соотношения (12) и (13), с помощью (8), (10) и (11) приходим к следующим ограничениям на величину силы $F$, с которой следует тянуть за них
$\frac g 0$, что, естественно, приводит к той же оценке для силы $F$.
В соотношении (14) содержится еще один интересный результат: существует предельное значение $\alpha_$ угла $\alpha$, зависящее от отношения масс $m/M$, при котором уже никакой силой $F$ нельзя заставить брусок двигаться вверх по наклонной поверхности клина, не отрываясь от нее.
Покажем это: приравнивая левую и правую части неравенства (14), получаем следующее кубическое уравнение для $\cos \alpha_$:
$\cos^ \alpha_ - \gamma \cos^ \alpha_ + 1 = 0$, (15)
где $\gamma = m/(M + m)$. Видно, что $0 2$. Положив $x = 0$, видим, что левая часть (15) положительна. Значит, в промежутке (0,1) существует по крайней мере один корень уравнения (15а). Отсюда следует, что и остальные два корня кубического уравнения (15а) вещественны: по теореме Виета произведение корней равно —1, а этого не может быть, если один корень положительный, а два других комплексные. Один из этих вещественных корней положительный, а другой — отрицательный, причем положительный корень больше единицы.
Придти к идее о существовании предельного угла $\alpha_$ можно, рассмотрев частный случай $\alpha = \pi/2$. В этом случае в самом начале движения сила натяжения нити действует на брусок вертикально вверх, а на клин — горизонтально. Поэтому брусок сразу оторвется от клина.
Ответ: $\frac g < F \leq \frac< \sin \alpha (1 - \cos \alpha)>g$.
Ускорение бруска: $a_ = \frac
Ускорение клина: $a_ = \frac
Читайте также: