По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов участвующих
Обновлено: 17.05.2024
Олимпиадные задачи по математике на принцип Дирихле
1) Родители 25 учеников 5 класса «А» купили своим детям мобильные телефоны восьми разных моделей. Найдутся ли четыре ученика, имеющие телефоны одной модели?
2) В спортивный лагерь приехали отдыхать 97 человек. Докажите, что среди них найдутся хотя бы 9 человек, родившихся в один месяц.
3) В кондитерский отдел завезли 45 коробок с конфетами пяти разных наименований, причем в каждой коробке лежат конфеты только какого-то одного наименования. Найдутся ли 9 коробок с конфетами одного наименования?
4) Вычислите значение дроби:
В ней разные буквы (множители) заменяют разные цифры, между которыми стоит знак умножения)
5) Лена и Борис играют в интересную игру. Лена рассыпает на шахматной доске 195 маленьких бусинок, а Борис пытается найти 4 бусинки, попавшие в одно поле. Если ему это удается, то он выигрывает. В противном случае выигрывает Лена. Кто из них обязательно выиграет, а кто проиграет?
6) Учитель математики объявил результаты самостоятельной работы, проведенной в 5 классе. Наибольшее число ошибок имел Олег. У него было ровно 13 ошибок. Можно ли найти среди 28 учащихся 5 класса, допустивших ошибки, три ученика с одинаковым количеством ошибок?
7) Какое максимальное количество клеток на доске размером 6×6 можно закрасить, чтобы никакие две из закрашенных клеток не соприкасались (даже в одной точке).
Историческая справка репетитора математики :
Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859) — великий немецкий математик, оставивший после себя несколько важных открытий в различных областях математики и физики: в математическом анализе (признак Дирихле сходимости ряда, функция Дирихле), в теории чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии). Имеются труды по математической физике (принцип Дирихле в теории гармонических функций).
Знакомство с принципом Дирихле.
В городе Формалюнске 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца Культуры 400 мест. Доказать, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этот зал.
Решение задачи №1.
Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15 •400=6 000 школьников. Но по условию в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест.
В школьном совете 17 парламентеров. За время заседаний часть из них поссорились между собой. Доказать, что найдутся два участника совета, которые поссорились с одинаковым количеством парламентеров.
Решение задачи №2.
Предположим, что все парламентеры поссорились с различным количеством своих коллег. Посчитаем, сколько может быть различных вариантов. Можно не поссориться ни с кем, поссориться с одним человеком, с двумя, с тремя и так далее до 16 (если поссорился со всеми). Всего получается 17 вариантов поссориться, но если кто-то поссорился со всеми, то не может одновременно быть парламентера, который ни с кем не поссорился. Значит, остается 16 различных вариантов для 17 человек, и найдутся два участника совета, которые поссорились с одинаковым количеством парламентеров.
В школе 5 восьмых классов: 8"А", . 8"Д". В каждом из них учится по 32 человека. Докажите, что найдутся 14 человек, родившихся в один месяц.
Решение задачи №3.
Предположим, что в каждом месяце родилось не более 13 учеников (год рождения не учитывается). Значит, за 12 месяцев родилось не более 12 •13=156 школьников. Но по условию в пяти классах этой школы обучается 5*32=160 человек. Получили противоречие. Значит, найдется месяц, в котором родилось больше 13 учеников, то есть хотя бы 14.
В 3"А" классе учится 27 школьников, знающих (всего) 109 стихотворений. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее пяти стихотворений.
Решение задачи №4.
Предположим, что каждый школьник знает не более 4 стихотворений. Значит, 27 школьников знают не более 4 •27=108 стихотворений. Но по условию они знают 109 стихотворений. Получили противоречие. Значит, найдется школьник, который знает хотя бы 5 стихотворений.
В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день). Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.
Решение задачи №5.
Различных годов рождения может быть 7. Предположим, что каждый год родилось не более трех участников похода. Значит, за 7 лет могли родиться не более 3• 7=21 участников. Но, по условию, в походе участвовало 25 человек. Получили противоречие. Значит, найдутся четыре участника похода, родившихся в один год.
По дороге в школу третьеклассник Коля преодолел 27 луж. Дорога в школу заняла у него 15 минут. Докажите, что найдутся две лужи с паузой менее чем в 35 секунд.
Если бы между всеми лужами были паузы не менее чем в 35 секунд, то Коля затратил бы на них не менее 35*26=910 секунд, это больше чем 15 минут, что противоречит условию. (26 промежутков, если первая и последние лужи находятся на концах пути.)
На окно кабинета математики размером 40 см на 30 см село 25 мух. Доказать, что квадратной мухобойкой 11*11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.
Решение задачи №7.
Разделим окно на 12 квадратов размером 10 см на 10 см. Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более 2 •12=24 мух, а по условию мух 25, значит в каком-то квадрате сидит хотя бы 3 мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трех мух.
1.В городе Формалюнске 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца Культуры 400 мест. Доказать, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этот зал.
2. В школьном совете 17 парламентеров. За время заседаний часть из них поссорились между собой. Доказать, что найдутся два участника совета, которые поссорились с одинаковым количеством парламентеров.
3.В школе 5 восьмых классов: 8"А", . 8"Д". В каждом из них учится по 32 человека. Докажите, что найдутся 14 человек, родившихся в один месяц.
4. В 3"А" классе учится 27 школьников, знающих (всего) 109 стихотворений. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее пяти стихотворений.
5. В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день). Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.
6. По дороге в школу третьеклассник Коля преодолел 27 луж. Дорога в школу заняла у него 15 минут. Докажите, что найдутся две лужи с паузой менее чем в 35 секунд.
7. На окно кабинета математики размером 40 см на 30 см село 25 мух. Доказать, что квадратной мухобойкой 11*11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.
По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов участвующих
довольно много о жизни и творчестве этого замечательного математика, чей день рождения сегодня «Становись Остроградским!» — так нередко напутствовали молодых людей, отправлявшихся учиться в высшие учебные заведения. Вот как велик был научный авторитет одного из крупнейших представителей дореволюционной русской математической науки — Михаила Васильевича Остроградского, известного своими замечательными исследованиями в области механики, анализа и математической физики.
М. В. Остроградский родился в 1801 году на Полтавщине, в имении отца, небогатого помещика.
Хотя математические способности у Остроградского были замечены лишь в семнадцатилетнем возрасте, однако уже в раннем детстве будущий математик проявлял редкую наблюдательность и подвижность. Он любил вычислять размеры игрушек и других предметов, глубину ям и колодцев. С этой целью у него в кармане 'постоянно был шнурок с привязанным на конце камнем, при помощи которого он тщательно измерял и колодцы, и провалы, и обрывы. Особый интерес для не¬го представляла мельница, и он мог подолгу наблюдать за движением ее крыльев или водяного колеса, следить за ходом жерновов и за падением воды. Родители, зная эту особенность сына, старательно обходили во время совместных прогулок с ним столь заманчивые объекты наблюдений. Однако предметы для изучения и измерения, наблюдательный мальчик находил без особого труда. В те годы страсть Остроградского доставляла много тревожных минут его родителям; и только спустя много лет, когда Остроградский стал знаменитым ученым, близкие вспоминали о его настойчивой любознательности уже в ранние годы и видели в этом проявление его талантливости.
В девять лет Остроградского отдали в Полтавскую гимназию. Сам же Миша Остроградский, как и многие юноши-сверстники, под впечатлением только что закончившейся Отечественной войны 1812 года мечтал лишь о военной карьере и поэтому учился в гимназии очень посредственно по всем предметам. Тогда отец реши, взять сына из гимназии и определить в один из гвардейских полков. Это решение совпало с самым страстным желанием самого Миши.
В самый последний момент по совету одного родственника, заметившего в мальчике большую наблюдательность и повышенный интерес к измерению предметов, и горячо настаивавшего на продолжении им учебы, отец определил сына в Харьковский университет, Мише исполнилось в это время шестнадцать лет.
Нелегко 'было юноше расстаться с мыслью о военной службе. Но слово родителя было для сына законом.
Первые полтора года университетского курса Остроградский занимался плохо. Мечты о военной службе не покидали его, сен готов был с радостью оставить университет, чтобы поступить в любой полк.
Резкая перемена к учебе наступила после того, как Остроградский перешел жить на квартиру преподавателя математики университета Андрея Федоровича Павловского (1788—1857).
Заметив опытным глазом математические способности, юноши, Павловский своими дружескими беседами
сумел пробудить сначала интерес, а затем страстную
любовь Михаила к науке. С жаром принявшись за учение, он уже через два-три месяца поражал своего вос¬питателя и товарищей математическими успехами: талант позволял юноше на лету схватывать прочитанное
и подмечать промахи и ошибки в изложении. Увлечение занятиями не замедлило сказаться: в 1818 году он
сдает экзамены за полный курс университета, а через
два года успешно сдает экзамены на звание кандидата наук.
Казалось, перед ним открылась прямая дорога к университетской профессуре. Однако ученой степени Остроградский не получил, и причиной тому послужи¬ла острая идейная борьба, развернувшаяся B Харьковском и других университетам России, вызванная на¬ступлением реакции в последние годы царствования-Александра I.
Остроградского обвинили в том, что он не посещал
лекций то «богопознанию и христианскому учению».
На этом ничтожном основании ему не только отказали в присуждении ученой степени, но и лишили диплома об окончании университета.
И все же - Остроградский стал великим* ученым, академиком. Это, пожалуй, единственный случай
когда ученый, не имеющий диплома об окончании университета, был избран академиком.
Он едет в Париж. Несмотря на разного рода трудности, возникшие B дороге, он прибывает в центр тогдашней математической мысли, где слушает лекции у Коши, Лапласа, Фурье, Пуассона, ПонсеЛе и многих других. Целый «букет гениев"
Общение с французскими учеными, изучение их трудов приводит вскоре Остроградского к собственным открытиям. Французы с похвалой отзываются о Михаиле Васильевиче. «. Один русский молодой человек, Остроградский, одаренный большою проницательностью и весьма сведущий в исчислении бесконечно малых, дал новое доказательство. »—• писал•_ Коши о работе 24-летнего Остроградского по вопросам преобразования и вычисления определенных интегралов. Работы молодого ученого публикуются в журнале Парижской Академии наук.
Известие об успехах Остроградского дошло до России. Больше всех ему радовался, конечно, профессор Павловский. Младший брат Остроградского, Андрей, вспоминает: «Однажды, возвращаясь из университета, Павловский дрожащим от волнения голосом позвал меня с собою. Недолго мы шли, как Павловский не выдержал: «Смотри, Андрей, смотри,— сказал он, вынимая из кармана сверток,— смотри, что делает Мишель»,— и слезы текли у него по щекам». После шестилетнего пребывания в Париже Михаил Васильевич выехал в Россию. Тяжелой была эта дорога. >В пути его обокрали, оставив только одну одеж¬ду; ему пришлось весь путь от Германии до Петербурга проделать пешком.
Сразу же после приезда Остроградского в Петербург началась его плодотворная деятельность в Академии - в 1830 году его избирают экстраординарным, а через год — ординарным академиком. С этого времени его жизнь была полна творческих удач.
Взять хотя бы одну из самых• распространенных в математике задач — вычисление кратного интеграла. Лучше всего и проще решать ее, сводя к более простому вычислению интеграла меньшей кратности. Формулу такого преобразования вывел в 1834 году академик Остроградский. А несколько ранее он вывел еще одну важную формулу преобразования интеграла по объему в более простой для вычисления интеграл по поверхности. Этой формулой широко пользовался в своей математической теории знаменитый Максвелл. Ею пользуются не только математики, но и физики.
Труды Остроградского посвящены самым разнообразным отделам математики и механики — дифференциальному и интегральному исчислению, алгебре, геометрии, теории вероятностей, аналитической механике, физике, баллистике. Кроме того, он написал несколько учебных пособий для студентов.
В повседневной жизни Остроградский отличался
исключительной скромностью. «Находясь наверху славы, почтенный за свои труды во всей Европе,— писал
Н. Е. Жуковский,—• Остроградский держал себя чрезвычайно просто и не любил говорить о своих личных
заслугах. Рядом с его богатырской наружностью Остроградский бывал застенчив и способен был иногда растеряться». . •' -
Михаил Васильевич обладал прекрасной памятью, знал наизусть много стихотворений. Любимым его писателем был Т. Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и находился в дружеских отношениях. В дневнике великого украинского поэта имеются очень теплые записи о земляке. Вскоре после возвращения из десятилетней ссылки Шевченко в своем дневнике писал: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго отлучившегося куда-то своего семьянина. Спасибо ему».
Летом 1861 года ученый отправился на родину, на Полтавщину. Там он неожиданно для себя и друзей заболел. Злокачественный нарыв на спине оказался сильнее жизни. И 1 января 1862 года Остроградский скончался. Похоронен он в имении Пашенном склепе Остроградских.
Н. Е. Жуковский потом говорил: «При взгляде на это мирное место успокоения, на широкие поля, убегающие в бесконечную даль, невольно возникает мысль о влиянии природы на человека. В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очертанных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но МНОГООБЕЩАЮщее. В творениях Остроградского нас привлекает общность анализа, основная мысль, столь же широкая, как широк простор его родных полей». •
Ну и вопрос лично от меня: интересно, знал ли Остроградский о работах Галуа и как могла бы сложиться жизнь Эвариста, если б они встретились?
Просто хочу поделиться:
В школе я придумала новый способ считать квадраты чисел от 11 до 19! Потом совсем забыла его. а теперь вспомнила:нужно умножить число на 10 и прибавить к этому само число, умноженное на свою вторую цифру
пример: 15 - 150+15х5 = 225
19*19: 190*2 = 380; 280+9*9 = 361
Это работает только на числах от 11 до 19, а дальше я не разработала.
Как вам вот это, товарищи?
Здравствуйте
PS Исправил указанное название сообщества, которое было по ошибке перепутано с никнеймом его администраторп
Нильс Хенрик Абель
Абель, по словам Ш.Эрмита, «оставил столь богатое наследие математикам, что им будет чем заниматься в ближайшие 500 лет»
Выдающийся норвежский математик Нильс Хенрик Абель родился 5 августа 1802 года в бедной семье пастора в маленьком норвежском местечке Финге, расположенном на северо-западном побережье Норвегии. Он был вторым сыном в семье, где помимо него, были три брата и сестра Элизабет. Мать Абеля, урожденная Симонсен, отличалась незаурядной красотой, но тяжелая жизнь и отсутствие перспектив сделали свое черное дело - молодая женщина отдала дань пороку, бывшему в то время бичом Норвегии - пьянству. Да, как не парадоксально это звучит, но находившаяся на задворках Европы того времени Норвегия была поражена этим недугом, искорененным лишь к началу ХХ века. Отец Нильса, Серен, по словам Миттаг-Леффлера, "долго боролся с пьянством, но под влиянием матери Нильса(т.е., своей жены) закончил тем, что сам стал его жертвой". Спились и два старших брата Нильса.
нечто вроде биографии, несколько картинок и хронология О первых годах жизни Абеля сохранилось мало сведений. Известно только, что, будучи школьником, он в первое время мало чем отличался от своих товарищей. В то время образование в Норвегии, переходившей, словно игрушка, между Данией, и Швецией, оставляло желать лучшего; в школах нередки были наказания, принимавшие вид жестоких избиений - так, Бадер, сперва преподававший в Кафедральной школе Христиании, где учился Нильс, однажды до смерти избил одного из учеников. и был всего лишь смещен с должности. Математическое дарование пробудилось в Абеле благодаря дополнительным внеклассным занятиям по математике, которые по два часа в неделю вел его новый учитель, Бернт М.Гольмбое или Хольмбе, всего семью годами старше своих учеников. Эти занятия состояли из решения задач повышенной трудности, главным образом по алгебре и геометрии. Задачи Абель решал молниеносно, так что учителю пришлось подбирать специальные задачи, только для него одного. Сам учитель так отзывался о своем ученике: «Мальчик проявлял высокую страсть к математике и в короткое время сделал в ней такие успехи, в которых может быть способен только гений».
В 1820 году умер отец, и семья осталась без всяких средств к существованию. Положение было безвыходным. Но математическим дарованием подростка заинтересовались профессора и за свой счет определили его учиться в университет. Вступительные экзамены по математике, как и следовало ожидать Абель сдал «на отлично».
Хотя Абель учился в университете, но в математических познаниях он был самоучкой. В ту пору в университете, в котором учился Абель, никакие математические курсы не читались. Математику он постиг по книгам приобретенным на скудные средства, которые давались ему время от времени сердобольными профессорами.
Предаваясь своим любимым занятиям — научным исследованиям,— «Studiosus Abel» счел, что он нашел решение уравнения пятой степени в радикалах. Эта весть облетела весь университет и стала своего рода сенсацией. Хольмбе не нашел ошибки в расчетах Абеля, но предложил послать их на окончательную проверку крупнейшему скандинавскому математику Дегену, в Копенгаген. Деген и указал Нильсу на неточности, сводившие на нет работу. Знаменитую теорему о том, что общее уравнение выше четвертой степени в радикалах не решается, Абель опубликовал отдельной брошюрой в 1824 году. Продолжая работу над теорией алгебраических уравнений, Абель позднее выделил класс уравнений выше четвертой степени которые разрешимы в радикалах. Уравнения этого класса принято называть теперь «абелевыми уравнениями».
Свое доказательство невозможности решения в радикалах общего алгебраического уравнения выше четвертой степени он послал на отзыв знаменитому немецкому математику Гауссу, но тот счел нужным отмолчаться и не ответил начинающему ученому. Как указывает Иэн Стюарт, работа норвежсца заинтересовала Гаусса столь мало, что тот даже не разрезал страниц.
Абель много надежд возлагал на заграничную поездку в Париж, которая осуществилась за счет предоставленной специальной стипендии: Еще бы! Париж был центром научной мысли Франции. Там находилась Парижская академия наук, там работали крупнейшие математики мира. Однако и в Париже его ждало разочарование. Ведущие французские математики так и не удосужились понять работ молодого норвежского ученого и остались к нему совершенно равнодушны. Научный доклад Абеля по теории абелевых функций представленный Парижской академии в письменном виде, остался нерассмотренным и был сдан в архив, как документ, лишенный всякого живого интереса. Этот трактат, пролежавший долгие годы в архиве, был напечатан уже после смерти Абеля. Возможно, это объяснялось его необычайной сжатостью - стремясь минимизировать расходы на печать, Абель сократил текст до шести страниц, убрав промежуточные выкладки и многостраничные рассуждения, бывшие "хорошим тоном" в математических трудах того времени. Немалую негативную роль сыграла и застенчивость Нильса, частью связанная с его плохим знанием французского, частью проистекающая из его характера. Вот что пишет о его натуре Миттаг-Леффлер, основываясь на воспоминаниях современников: "Он навсегда сохранил свойственное детям обращение на "ты", даже по отношению к незнакомцам. его гениальные и мощные мысли не могли уживаться с совершенно упорядоченным ходом существования. Ночь превращалась в день, а день - в ночь, и мысли набрасывались в блокноте тогда и так, когда и как они приходили. Но бывали у него и периоды усталости и депрессии. Он мог целыми днями оставаться в одиночестве, молчаливый, угрюмый, в полном бездействии. Если кто-то спрашивал у него, в чем дело, он отвечал: "Я в печали"."
Тяжелая нужда, систематическое недоедание и непомерно большой труд сделали свое дело. Абель впал в глубокую меланхолию, которая была верным признаком душевного расстройства. Меланхолия покидала его только в часы вдохновенного научного труда: он становился совершенно неузнаваем, весь преображался и как бы светился внутренним огнем. Это были часы его подлинного счастья. Он забывал мир с его превратностями и невзгодами и жил в сферах одной только науки.
Мало, очень мало пожил Нильс Абель. Окруженный непроницаемой стеной полного равнодушия «научных светил», непризнанный, задавленный постыдной нуждой, он умер двадцати шести с половиной лет от туберкулеза. Владелец бессмертных идей почти всю свою короткую жизнь был нищим и умер в больших лишениях.
- могила Абеля.
Абель ввел в науку понятие эллиптических функций, оказавшихся пригодным алгоритмом для выражения корней уравнения пятой степени, поскольку радикал оказался слишком бедным алгоритмом, пригодным только для выражения корней уравнения 2, 3 и 4 степеней (Г.Н.Попов).
Знаменитый французский математик Эрмит, давший упрощенное доказательство теоремы Абеля в 1842 году, особенно много работал по теории эллиптических функций, "прекрасные формулы которой" по его собственным словам, "переполняли радостью его душу алгебраиста", и в 1858 году он показал, что общее уравнение пятой степени разрешимо с помощью эллиптических модуль-функций..
Ученый, совершивший в науке целый переворот, не был при жизни увенчан лавровым венком. Слава Абеля, как гения науки, зазвенела только после его смерти. Когда ученые разобрались в его глубоких открытиях, стало совершенно ясно, что труды Абеля есть основа основ самых важных разделов современной математики и знаменуют высший этап ее развития.
Посмертные, по большей части незаконченные, мемуары свидетельствуют о том, что Абель намеревался углубить свои исследования и поставил перед собой целый ряд весьма важных проблем общего характера по теории уравнений.
Идеи Абеля послужили основой для работ математиков позднейшего времени, среди которых надо отметить Кронекера (1823 - 1891), давшего в 1853 году без доказательства теорему: "Корни всякого уравнения Абеля с рациональными коэффициентами выражаются рационально в функциях корней двучленного уравнения х^n -1 = 0".
Теорема эта доказана немецким математиком Вебером.
Уже после смерти Абеля «Журнал Крелле» писал: «Он работал не для себя, а лишь для науки, которую горячо любил. Вполне возможно, что такое бескорыстие не принято в этом мире. Ну, что ж, он тем не менее не хотел беречь себя и всю свою жизнь отдал науке. Давайте же воздадим должное памяти человека, который отличался столь огромным талантом и столь необычайной душевной чистотой. Давайте почтим в его лице одного из тех редких людей, которых природа раз в столетие создает на нашей земле».
По зову ученых на средства международной подписки на самой широкой площади Осло (столица Норвегии) воздвигнут величественный монумент. На тяжелой гранитной глыбе юноша с одухотворенным лицом, стремительно шагающий ввысь, а на пути его — два чудовища, которых он переступает. Гордая фигура юноши — это и есть запечатленный навеки образ Нильса Абеля.
5 августа 1802 - родился в бедной семье пастора в маленьком норвежском местечке Финге, расположенном на северо-западном побережье Норвегии;
1820 - умирает отец ;
1821 - поступил в университет Христиании (ныне Осло);
1822 - получает степень «кандидата философии»;
зима 1822—1823 - представил университету первую значительную научную работу, посвящённую интегрируемости дифференциальных уравнений;
1823 - доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени;
1824 - университет разрешает оплачиваемую поездку за границу для продолжения образования;
сентябрь 1825-февраль 1826 - знакомится с Августом Крелле, который устроил Нильса сотрудником журнала «Journal für die reine und angewandte Mathematik»;
1826 - знакомится с Лежандром и Коши. Пытается опубликовать знаменитый мемуар об абелевых функциях;
1827 - бедствует, подрабатывая частными уроками. После письма видных французских математиков норвежскому королю получает место временного преподавателя в университете и инженерной школе.
1828 - избран членом Королевского научного общества Норвегии.Продолжает активно развивать теорию эллиптических функций;
1829 - умирает от туберкулёза.
Олимпиадные задачи по математике на принцип Дирихле
Практическая работа по теме «Задачи на разрезание»
Задача 1. Можно ли квадрат 5 на 5 разрезать на прямоугольники 1 на 2?
Задача 2. Вася купил шоколадку 5 на 5, разделенную по бороздкам на 25 маленьких квадратиков. Удастся ли ему разломать эту шоколадку на уголки из трех квадратиков?
Задача 3. Можно ли прямоугольник 6 на 9 разрезать на уголки из трех клеток?
Задача 4. Покажите, как разрезать квадрат размером 5×5 клеток на "уголки" шириной в одну клетку так, чтобы все "уголки" состояли из разного количества клеток. (Длины "сторон" уголка могут быть как одинаковыми, так и различными).
Решение: площадь квадрата – 25 клеток, а самого маленького "уголка" – 3 клетки. Представим число 25 в виде суммы различных слагаемых, начиная с трёх: 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7, и разрежем квадрат на пять "уголков" с таким количеством клеток. Например:
Задача 5. Разрезать фигуру на две равные части, из которых можно было бы сложить квадрат.
Решение:
Задача 6. Разрезать фигуру на четыре равные части.
Решение:Задача 7. Разрезать фигуру на четыре равные части.
Задача 8. Разрезать фигуру на четыре равные части.
Задача 9. Перед вами два квадрата, один из которых уже разделен на четыре одинаковых треугольника. Как при помощи этих треугольников и маленького квадрата сложить один большой квадрат? Ничего больше разрезать не требуется.
Задача 10. Сложите из двенадцати фигур Пентамино прямоугольник 6 × 10, причем так, чтобы каждый элемент касался какой-нибудь стороны этого прямоугольника.
Вообще данная задача напоминает нам детскую игру тетрис. Увлекательно и полезно для детей начиная с 5-летнего возраста, что развивает логику и мышление.
Детали для игры – задачи должны быть подготовлены заранее. Удобнее всего это делать на клетчатой бумаге.
Заметим, что каждая часть содержит в себе пять одинаковых квадратиков. А теперь применяя логическое мышление, решаем задачу. Строить прямоугольник начнем с прямого угла.
Самостоятельная работа «Принцип Дирихле»
Задача 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди них точно два шарика оказались одного цвета?
Задача 2. Вдоль круглого стола равномерно размещены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что каждый из дипломатов не сидит напротив своей таблички. Можно вернуть стол так, чтобы, по крайней мере, два дипломата сидели напротив своих табличек?
Задача 3. В городе более 8000 тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым количеством волос на голове.
Задача 4. На пяти полочкам книжного шкафа 161 книга, причем на одной из полок - 3 книги. Докажите, что найдется полочка, на которой не менее 40 книг.
Математический кружок для 5 класса
Внеклассная работа-это «необязательная» часть работы учителя с учениками, но работа , без которой трудно представить себе преподавание математики. Её задача-повысить интерес учащихся к предмету, активизировать их деятельность, поддерживать и развивать пусть пока небольшие творческие взлёты, расширять знания. В виде игры часто можно предложить и сложные задачи, т.е. серьёзное содержание «одеть» в занимательную «одёжку».
В настоящее время все более актуальной становится проблема развития одаренных детей. Это, прежде всего, связано с потребностью общества в неординарной творческой личности. Неопределенность современной окружающей обстановки требует от человека не только высокой активности, но и его умения, способности нестандартного поведения. Раннее выявление, обучение и развитие одаренных и талантливых детей составляет одну их главных проблем совершенствования системы образования.
Цель программы – создание условий для раскрытия и развития внутреннего потенциала, способностей высокомотивированных учащихся и детей с признаками одаренности, удовлетворения их познавательных потребностей.
Данная программа соответствует основной стратегии развития школы:
ориентации нового содержания образования на развитие личности;
реализации деятельностного подхода к обучению;
обучению ключевым компетенциям (готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач) и привитие общих умений, навыков, способов деятельности как существенных элементов культуры, являющихся необходимым условием развития и социализации учащихся.
Когда ребенок переходит из начальной школы на среднюю ступень обучения, он уже обладает определенными вычислительными навыками по выполнению действий с натуральными числами, умеет решать стандартные задачи двух – трех видов, но чаще всего у него не развиты способности к аналитической деятельности. Главной задачей данной программы является формирование и развитие аналитических способностей у одаренных учеников, формирование исследовательских умений, а также развитие у них таких психических функций, как систематичность и последовательность мышления, способность к обобщению, сообразительность, развитие логическог мышления, сосредоточение внимания, выдержку и настойчивость в работе.
Обучению решению задач в математике уделяется много внимания, но единственным методом такого обучения на уроках является показ способов решения определенных видов стандартных задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими. Решением нестандартных задач на уроках учащиеся практически не занимаются или делают это крайне редко. А ведь именно решение таких задач способствует углублению знаний учащихся, развитию их природных способностей и дарований, развитию логического, аналитического мышления, вовлекает их в серьезную самостоятельную работу. Поэтому на занятиях кружка ученикам предлагаются различные виды нестандартных задач: числовые ребусы, старинные, логические задачи, задачи на лабиринты, на разрезания, перекладывания, перекраивания, переливания, взвешивания, комбинаторные задачи, а также даются способы и методы их решения.
Предлагаемая программа ставит своей задачей создать у учащихся целостное представление о стандартных и нестандартных задачах, способах и схеме поиска их решения, развить общие умения решать любые математические задачи. Кроме того, программа способствует расширению кругозора школьников, дополняет обязательный учебный материал сведениями о математике и математиках, о математических фокусах, софизмах, головоломках, вовлекает учеников в исследовательскую самостоятельную деятельность.
Программа данного математического кружка рассчитана на 34 часа (по 1 ч. в неделю, всего 34 занятия. Работа математического кружка осуществляется с учетом индивидуального подхода к обучению учащихся с использованием активных форм и методов познавательной деятельности, современных образовательных технологий: информационно-коммуникативной, исследовательской (проблемно-поисковой), деятельностного подхода и другие. Учитывая физиологические и психологические особенности учащихся 5 классов, занятия кружка должны быть разнообразными как по содержанию, так и по организации учебной деятельности. Поэтому занятие кружка включает в себя либо приемы устного счета, либо теоретические подходы к решению задач и, конечно, решение самих нестандартных задач, дополненные математическими играми, головоломками, биографическими миниатюрами, занимательным материалом. Каждое теоретическое положение рассматривается на какой – либо конкретной задаче, что позволяет активно вовлекать учащихся в процесс ее обсуждения и решения. Во время проведения занятий, посвященных изучению теории (поиск плана решения, методы решения нестандартных задач), уместна организация групповой работы школьников с целью развития самостоятельности мышления и исследовательских умений.
В ходе проведения занятий кружка следует обратить внимание на то, чтобы обучающиеся овладели умениями: использования особых приемов для решения логических задач;
решения стандартных и нестандартных задач;
развитие пространственного мышления;
грамотного использования математического языка в устной и письменной речи.
Занятие №1-2 «В мире чисел» Один из величайших греческих математиков древности Пифагор (580- 500г. до нашей эры) считал, что числа очень важны для жизни людей. Попробуйте сами прочитать, что он говорил о числах.
Читайте также: