На столе лежит куча из 637 ракушек
Обновлено: 17.05.2024
В процессе игры «Лабиринт» школьнику нужно два раза обойти пять аудиторий, в каждой из которых предлагаются задачи на разные темы (геометрия, игры, комбинаторика, «логика», инвариант) — на первом круге попроще, на втором посложнее; предусмотрены также ещё более сложные дополнительные задачи. Если школьник не справился с задачей, он не может двигаться дальше по кругу прежде, чем посетит специальную аудиторию «Реанимация» и решит там простую задачу или головоломку.
Геометрия
1-й круг
1. Можно ли квадратный лист бумаги 3×3 сложить так, чтобы после одного прямолинейного разреза он распался на квадраты 1×1? 2. В неравнобедренном треугольнике длины всех сторон выражаются целым числом сантиметров. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника? 3. Пятиклассник Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все их точки пересечения друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4 и на пятом — 5. а) Приведите примеры таких рисунков. б) Про какие из Петиных рисунков можно наверняка сказать, сколько на них проведено прямых? 4. На середине ребра молочного пакета (в форме правильного тетраэдра, такие пакеты для молока были распространены в СССР) сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?
2-й круг
1. Точка M лежит внутри треугольника ABC . Сравните углы ABC и AMC . 2. Квадрат 40×40 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат? 3. Точка M лежит внутри треугольника ABC . Что больше: AM + MC или AB + BC ? 4. Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник? 5. Разрежьте остроугольный треугольник на три трапеции (подразумевается, что нужно уметь резать всякий остроугольный треугольник, а не один конкретный).
Дополнительные задачи
1. Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем ∠ AOC = 60°. Докажите, что AC + BD ≥ 1. 2. В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника. 3. На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Докажите, что на окружности найдется такая точка, для которой сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек будет не меньше 100. 4. Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся. 5. На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.
В этих задачах, если явно ничего не спрашивается, требуется указать выигрывающую стратегию для одного из игроков.
1. На доске 4×4 в левом нижнем углу стоит король. Его по очереди двигают двое, причем разрешены только ходы вверх, вправо и вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не сможет сходить. 2. Есть 30 камней. Два игрока по очереди берут от 1 до 10 камней. Выигрывает тот, кто берёт последний камень. 3. Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. 4. Имеется две кучки камней по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. 5. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитываем результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй.
1. Есть две кучки камней: в одной 25, в другой 30 камней. Можно или взять сколько угодно камней из одной кучки, или равное число камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 2. На окружности есть 20 точек. Два игрока по очереди соединяют две точки отрезком, причём нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. 3. Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает? 4. В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9, и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовёт число 100. 5. Два игрока по очереди проводят прямые на плоскости. Каждый делает по 4 хода. Первый игрок выигрывает, если эти прямые разбивают плоскость на чётное число частей, а второй — если на нечётное.
1. Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. Далее игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый — ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока? 2. У Коли и Оли есть по верёвке. Сначала Коля разрезает свою верёвку на три части, затем Оля разрезает на три части свою. Если из полученных шести кусков два треугольника (каждый кусок — сторона треугольника), то выигрывает Оля, иначе — Коля.
Комбинаторика
1. На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках? 2. На столе лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно взять два разных фрукта? 3. Сколькими способами можно раскрасить грани тетраэдра (треугольной пирамиды) в четыре цвета? (Тетраэдр разрешается поворачивать.) 4. Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Сколько различных бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин? 5. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?
1. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка? 2. Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы 2 одинаковые цифры? 3. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых хотя бы одна четная цифра? 4. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в 6 цветов? 5. Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)
Дополнительная задача
«Логика»
1. Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши? 2. В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине? 3. Учитель задал замысловатую задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек? 4. Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов? 5. Назовём занятие Малого Мехмата лёгким, если в каждой аудитории найдётся человек, который решил все задачи. Сформулируйте определение сложного занятия. 6. Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: — Лжец.
В: — Я хитрец!
С: — Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец? 7. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?
1. 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До меня соврали один раз». Другой сказал: «А теперь — дважды». «А теперь — трижды», — сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: «А теперь соврали 12 раз». Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз соврали кандидаты? 2. Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа «да» или «нет». Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на каждый из них. Какое количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз? 3. Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков.
1. В магазине есть 3 компьютера: американский, который всегда отвечает правду, китайский, который всегда врёт, и русский, который отвечает что попало. Перед покупкой разрешается задать один вопрос любому одному компьютеру. Можно ли задать такой вопрос, чтобы обязательно купить а) не китайский; б) не русский компьютер? 2. Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные — всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?
Инварианты
1. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»? 2. Можно ли мышкой обойти доску 5×7 без центральной клетки? В каждой клетке доски нужно побывать ровно по одному разу, передвигать мышку можно только в соседнюю по стороне клетку. 3. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b − 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
1. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек? Если можно, то сколько нужно для этого сделать ходов и сколько куч получится? 2. На доске написаны числа 30 и 44. За один ход игрок дописывает ещё одно натуральное число — разность (положительную) любых двух, уже написанных, если она ещё не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. 3. В 50 коробках лежат 100 конфет. Девочка и мальчик берут поочерёдно по конфете, начинает девочка. Может ли мальчик добиться того, чтобы последние две конфеты лежали в одной коробке?
1. В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран A может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих со страной А стран правит не та партия, которая правит в стране А. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно. 2. Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле? 3. Дан выпуклый 2 m -угольник A 1 . A 2 m . Внутри его взята точка P , не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A 1 ,…, A 2 m .
На столе лежит куча из 637 ракушек
«Реанимация»
1. Какие из приведённых слов имеют ось симметрии: ТОПОТ, СОН, СЕНО, ВЕС, ТОН, ЭХО, СОСНА, СОК? 2. В одном литре воды содержится 0,00001 миллиграммов золота. Сколько килограммов золота содержится в 1 км 3 морской воды? 3. Маша нарисовала на экране компьютера букву Ы, а потом нажала последовательно три кнопки: «повернуть на 90° по часовой стрелке», «заменить на зеркальное изображение» и «повернуть на 180°». Какую картинку она увидит? 4. Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть? 5. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов. 6. Докажите, что произведение любых трёх подряд идущих натуральных чисел делится на 6. 7. Замените в записи 645*485* звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 15. 8. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10? 9. За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь», — подумал Петя. Прав ли он? 10. Что больше: 2010 / 2011 или 2011 / 2012 ? 11. У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придется сделать? 12. Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.
Вологды Департамент Гуманитарной политики Управление образования муниципальное учреждение дополнительного образования детей
Задача 211. Имеется три печатающих автомата. Первый автомат по карточке с числами a и b печатает карточку с числами a+1 и b+1. Второй автомат по карточке с чётными числами a и b печатает карточку с числами a/2 и b/2. Третий автомат по карточкам с числами a и b (первая карточка) и b и c (вторая карточка) печатает карточку с числами a и c. Все карточки, полученные ранее, сохраняются. Можно ли из карточки (5, 19) получить карточку (1, 2002)?
Задача 212. В странах Дилии и Далии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер на 10 диллеров. Начинающий финансист может свободно проезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.
Задача 213. Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
Задача 214. На столе лежит куча из 637 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек?
Решение задачи 214. После каждой процедуры (изъятия ракушки и раздвоения кучки) число ракушек на 1 уменьшится, а число кучек на 1 увеличится. Поскольку, первоначально ракушек было 637, а кучек — одна, то после n процедур ракушек окажется 637−n, а кучек станет n+1. В задаче требуется, чтобы выполнилось равенство 637−n=3(n+1) или 634=4n, что невозможно, поскольку правая часть уравнения делится на 4, а левая нет.
Задача 215. Камни лежат в трех кучках: в одной 51 камень, в другой 49 камней, а в третьей 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из четного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
Задача 216. Хулиган Вася рвет школьную стенгазету: сначала на четыре части, потом одну из получившихся частей еще на четыре части, и т.д. Может ли в результате получиться 1994 куска?
Задача 217. Хулиганы Петя и Вася порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1998 обрывков. Докажите, что нашли не все обрывки.
Задача 218. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Докажите, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
Решение задачи 218 основано на одном свойстве наших операций. Это свойство является инвариантным на множестве позиций с чётным числом синих точек (понятно, что чётность числа синих точек не меняется). Определим для таких расстановок знакопеременную сумму |m1–m2+m3–m4+. +m2k–1–m2k| длин серий красных точек: m1 — число красных точек, заключённых между первой и второй синими точками (направление обхода и первая точка выбираются произвольно), m2 — число красных точек между второй и третьей синими точками, m3 — между третьей и четвёртой, . m2k — между последней (2k-й) и первой синими точками; некоторые mi могут равняться нулю. Если синих точек в расстановке нет вовсе, то положим эту сумму равной числу красных точек. Делимость на 3 определённой таким образом суммы — инвариант. (Докажите это, рассмотрев случаи, когда соседями красной точки являются синие точки, красные точки, точки разных цветов.) Но для двух красных точек наша сумма равна 2 (не делится на 3), а для двух синих точек — равна 0 (делится на 3).
Задача 219. В некотором государстве первоначально было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели быть банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых банка. Через 2 года министр финансов сообщил президенту, что в стране действует 2001 банк, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?
2.6. Другие инварианты.
Сохраняется количество, сумма или разность между суммами.
Задача 220. В алфавите языка УЫУ всего две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл?
Задача 221. Можно ли круг разрезать на несколько частей, из которых сложить квадрат? (Разрезы – это участки прямых и дуги окружностей.)
Задача 222. Даны три числа 2, 2 и 1/2. За один ход можно вместо любых двух чисел a и b записать числа (a+b)/2 и (a-b)/2. Можно ли получить тройку чисел 1, 2, 1+2?
Задача 223. В одной вершине куба написано число 1, а в остальных — нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра. Можно ли добиться, чтобы все числа делились на 3?
Идея решения задачи 223. Раскрасим вершины в белый и чёрный цвета так, чтобы соседние вершины (соединённые ребром) имели разный цвет. После этого заметим, что сумма чисел в белых вершинах отличается от суммы чисел в черных вершинах на единицу, так как каждый раз добавляется по 1 к белой и к черной вершинам.
Задача 224. В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?
Задача 225. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: "М" и "О". Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний "МО" и "ООММ", повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова "ОММ" и "МОО"?
Указание к задаче 227. Рассмотрите суммы диаметрально противоположных чисел.
Задача 228. Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Идея решения задачи 228. Пусть на доске написано число abcd. Тогда рассматриваемые операции не изменяют число M=(d+b)-(a+c).
Задача 229. Набор чисел a , b , c каждую секунду заменяется на a + b - c , b + c - a , c + a-b . В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.
Идея решения задачи 229. Инвариантом является сумма чисел. Действительно, ( a + b - c )+( b + c - a )+( c + a - b )= a + b + c .
Задача 230. В двух противоположных вершинах квадрата поставлены единицы, в двух других нули. За один ход можно прибавить к двум числам, стоящим в соседних вершинах, по любому одинаковому целому числу. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными?
Решение задачи 230. В этой задаче инвариантом будет следующая величина: число в левом верхнем углу, минус число в правом верхнем углу, плюс число в правом нижнем углу, минус число в левом нижнем углу. Изначально эта величина равна 2, а в конце должна оказаться равной 0. (Легко видеть, что когда мы прибавляем к двум соседним числам по единице, мы прибавляем к нашей величине 1 и вычитаем 1, так что она действительно остается неизменной.)
Задача 231. Круг разбит на 6 секторов, в которые записаны числа (по часовой стрелке): 0, 1, 0, 1, 0, 0. За один ход можно два соседних числа увеличить на 1. Можно ли все числа сделать равными?
Сохраняется сумма масс.
Задача 232. Прямой угол разбит на одинаковые клетки. Первоначально фишки стоят как показано на рисунке. Разрешается убрать с поля фишку и на её место поставить две фишки – одну на клетку выше, вторую на клетку правее. Можно ли за несколько ходов освободить от фишек те клетки, на которых они стояли?
а) Фишки сначала стояли так, как на рисунке 1
б) Как на рисунке 2
в) Как на рисунке 3
г) Как на рисунке 4
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Сохраняется площадь или периметр.
Задача 233. Пусть a, b, c, d - стороны четырёхугольника в порядке обхода. Докажите, что его площадь не превосходит а) (ac+bd)/2; б) (a+c)(b+d)/4.
Задача 234. Даны три числа 0, 1, 2. За один ход разрешается к любому из них прибавить разность двух других, умноженную на любое рациональное число. Можно ли получить такую тройку: 0, 2, 2?
Задача 235. С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию. Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника, то один из этих многоугольников можно отразить симметрично относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция разрешается только в том случае, когда в результате получается несамопересекающийся многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить из квадрата правильный треугольник?
Задача 237. Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Указание к задаче 237. Докажите по индукции, что после любого числа разрезаний найдётся часть с по крайней мере тремя не тупыми углами.
Задача 238. Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом - 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?
Указание к задаче 238. Нет. Достаточно доказать, что при любых переливаниях концентрация соли в первом сосуде не больше 1 процента, а во втором не меньше 1 процента.
Задача 239. На доске выписаны числа 1, 2, …, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на числоab+a+b. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Задача 240. На доске выписаны числа 1, 1/2, 1/3, . 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число a+b+ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Читайте также: