На столе лежат три спички
Обновлено: 06.05.2024
Эта игра представляет собою не что иное, как приспособление к спичкам общеизвестной игры в «нули и крестики». В игре участвуют двое. Выкладывают из спичек фигуру, изображенную на рис. 38. Затем играющие кладут по очереди в одну из 9 клеток этой фигуры по спичке. Один кладет спички головками вверх, другой – головками вниз. Выигравшим считается тот, кто первый закончит прямой или косой (диагональный) ряд из трех своих спичек.
Переправа Задача 21-я
С помощью спичек очень удобно разбирать старинные задачи-игры с переправами. Вот один из примеров.
Ряд последовательных переправ, необходимых для того, чтобы всем очутиться на противоположном берегу, показан в табличке;
В результате 9-ти переправ все четверо окажутся на другом берегу.
Спичечная свайка
Расщепленную на конце спичку поставьте на стол (как показано на рис. 39) недалеко от его края; а на самый край положите спичку так, чтобы она немного выступала за край. Теперь подбросьте лежащую спичку щелчком так, чтобы она опрокинула стоящую. Игра гораздо интереснее, если поставить на стол несколько спичек, отметив их бумажками и обозначив различным числом очков, как при игре в кегли. Участвует в этой игре двое или трое.
Чет или нечет? Задача 22-я
Обычная игра в «чет или нечет» общеизвестна. Но вот любопытное видоизменение этой игры. Вы зажимаете в руке некоторое число спичек, а ваш партнер должен отгадать, четное ли это число или нечетное, причем он не произносит ничего вслух, а молча кладет на вашу руку в первом случае – 2 спички, во втором – 1 спичку. Эти спички присоединяются к тем, которые были в руке, и затем подсчетом всех этих спичек проверяют: четное или нечетное число спичек оказалось в вашей руке?
При таком способе игры спрашивающий имеет возможность играть без проигрыша. Что он должен для этого делать?
Спрашивающий должен брать всегда нечетное число спичек. Этим он обеспечивает своему партнеру проигрыш во всяком случае, положит ли тот 2 или 1 спичку. Действительно:
нечетное число +1 = четному числу
нечетное число +2 = нечетному числу,
т. е. в обоих случаях получается противоположное тому, что было указано партнером.
В какой руке? Задача 23-я
Вы просите товарища взять в одну руку нечетное число спичек, в другую – четное и утверждаете, что сможете безошибочно отгадать, в какой руке у него нечетное число спичек – в правой или в левой.
Для этого вы просите его умножить то число спичек, которое зажато в правой руке, на 10, а то, что в левой, на 5, оба результата сложить и сказать вам сумму.
По этой сумме вы тотчас же говорите ему, в правой или в левой руке находится нечетное число спичек.
Как вы это можете сделать?
Отгадывание основано на том, что когда хотя бы один из двух множителей – число четное, то произведение всегда получается четное, например:
когда же оба множителя нечетных, то произведение – нечетное:
Поэтому, если нечетное число спичек в правой руке (т. е. умножается на 10), а четное в левой (умножается на 5), то в обоих случаях получатся четные произведения, и сумма их, конечно, будет четная. Если же в правой руке четное число (умножается на 10), а в левой – нечетное (умножается на 5), то придется сложить четное произведение с нечетным, и сумма получится нечетная.
Итак, когда товарищ ваш назвал вам четную сумму, вы говорите, что четное число спичек у него в левой руке; при нечетной же сумме наоборот.
Игра в двадцать Задача 24-я
В этой игре участвуют двое. На стол кладется кучка из 20 спичек, и играющие, один после другого, берут из этой кучки не более трех спичек каждый. Проигрывает тот, кто берет последнюю взятку, и, значит, выигрывает тот, кто оставляет противнику всего одну спичку.
Как должны вы начать игру и вести ее дальше, чтобы наверняка выиграть?
Желая выиграть, вы должны начать с того, что берете 3 спички. Из оставшихся 17 противник ваш может взять 1, 2 или 3 спички, по своему желанию, оставив в кучке 16, 15 или 14 спичек. Сколько бы он ни взял, вы следующим ходом (беря 3, 2 или 1 спичку) оставляете ему 13 спичек. Дальнейшими ходами вы должны оставить в кучке последовательно 9, 5 и, наконец, 1 спичку, т. е. выигрываете.
Говоря короче: вы берете в начале игры 3 спички, а в дальнейшем каждый раз столько, чтобы ваша взятка вместе с предыдущей взяткой партнера составляла 4 спички.
Этот план игры найден следующим рассуждением. Вы всегда сможете оставить противнику 1 спичку, если предыдущим ходом оставили ему 5 (тогда, сколько бы он ни взял – 3, 2, 1 – останется 2, 3, 4, т. е. благоприятное для вас число спичек). Но, чтобы иметь возможность оставить 5, вы должны предыдущим ходом оставить 9, и т. д. Так, «пятясь назад», легко рассчитать все ходы.
Игра в тридцать два Задача 25-я
Вот видоизменение предыдущей игры. Берется кучка из 32 спичек. Каждый игрок по очереди извлекает из нее не более 4-х спичек. Кто возьмет последнюю спичку, тот считается выигравшим.
Как следует играть, чтобы непременно выиграть?
Как следует играть в том случае, если взявший последнюю спичку считается проигравшим?
Ведя расчет с конца, вы без труда раскроете секрет беспроигрышной игры. Он состоит в том, чтобы, начиная игру, взять 2 спички; при следующих же ваших ходах вы оставляете в кучке 25, 20, 15, 10, наконец 5 спичек; тогда последняя спичка будет непременно ваша. Другими словами: берите каждый раз столько спичек, чтобы ваша взятка вместе с предыдущей взяткой партнера составляла 5 спичек.
Указанное правило годится и в том случае, если взявший последнюю спичку считается проигравшим, но только при первом ходе вы должны взять тогда не 2, а 1 спичку.
Немного алгебры
Итак, пусть число спичек в куче – а, а наибольшая взятка, какая разрешается условиями игры – п. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Составим частное:
Если оно не дает остатка, то надо предоставить начинать игру своему партнеру и брать каждый раз столько, чтобы общее число спичек, взятых обоими от начала игры, последовательно равнялось
n+1 2(n+1) 3(n+1) 4(n+1) и т. д.
Если же при делении a / (n +1) получается остаток, который обозначим через r, то вы должны начать игру сами и в первый раз взять r спичек, а в дальнейшем держаться чисел:
r+(n+1) r+2(n+1) r+3(n+1) и т. д.
Ради упражнения попробуйте применить указанные правила к следующим частным случаям (выигравшим считается взявший последнюю спичку):
1) число спичек в кучке 15; взятка не свыше 3;
2) число спичек 25; взятка не свыше 4;
3) число спичек 30; взятка не свыше 6;
4) то же, но взятка – не свыше 7.
Разумеется, когда секрет беспроигрышной игры известен обоим партнерам, то выигрыш предрешен, и игра утрачивает смысл.
Игра в двадцать семь Задача 26-я
В этой игре также начинают с составления кучки (из 27 спичек) и назначают наибольший размер взятки 4 спички. Но конец игры не похож на конец предыдущих игр: здесь считается выигравшим тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.
И в этом случае существует секрет беспроигрышной игры. Какой?
Начав рассчитывать с конца, вы найдете следующий способ беспроигрышной игры: если у вас уже имеется нечетное число спичек, то при дальнейших взятках вы должны оставлять противнику всякий раз такое число спичек, которое на 1 меньше кратного [23] 6 – т. е. 5 спичек, 11, 17, 23. Если же у вас взято четное число спичек, то вы берете взятки с таким расчетом, чтобы на столе оставалось число кратное 6-ти или на 1 больше, т. е. 6 или 7, 12 или 13, 18 или 19, 24 или 25.
Владея этим секретом, вы можете выиграть, даже если и не вы начали игру. Когда же начинать приходится вам, то считайте, что у вас взято 0 спичек: нуль принимайте за число четное (ведь за ним следует нечетное число – один) и поступайте согласно указанным правилам.
Интересно еще рассмотреть вопрос о беспроигрышной игре, если условие конца игры было другое: выигрывает тот, у кого нечетное число спичек. В этом случае указанные раньше правила нужно применять наоборот: при четном числе имеющихся у вас спичек оставлять противнику на 1 меньше кратного 6-ти, при нечетном числе – кратное 6-ти или на 1 больше. Начиная игру, вы оставляете противнику в этом случае 23 спички.
Игра «ним»
Эта старинная игра представляет собою усложненное видоизменение предыдущих. На стол кладут три кучки спичек; в каждой кучке может быть любое число спичек, но не больше 7-ми (одна спичка тоже называется в этой игре «кучкой»). Игра состоит в том, что играющие берут по очереди из одной кучки любое число спичек (можно и все взять), но только из одной какой-нибудь кучки, по желанию берущего. Кто возьмет последнюю спичку со стола, тот считается выигравшим.
Рассмотрим пример. Первоначальное распределение спичек по кучкам, предположим, таково:
Затем, по мере того, как играющие поочередно берут то из одной, то из другой кучки несколько спичек, последовательные изменения в числе спичек будут такие:
Кто возьмет эту последнюю спичку, тот выигрывает.
Здесь также существует секрет беспроигрышной игры. Доискаться его самому вам едва ли удастся (теория «нима» очень сложна); поэтому мы сообщим его, хотя и без обоснования. Надо играть так, чтобы после вашего хода на столе оставалась одна из следующих семи комбинаций спичек:
Числа подобраны так, что, каково бы ни было первоначальное расположение, всегда возможно привести его к одному из сейчас указанных отнятием спичек из одной кучки. Необходимо только указать еще, что делать, если число спичек в одной из кучек сделалось равным нулю, т. е. если кучка исчезла. Тогда надо взять столько спичек, чтобы обе оставшиеся кучки уравнялись по числу спичек. Играя по этим правилам, вы непременно выиграете, т. е. возьмете последнюю спичку. Например, в рассмотренном сейчас случае, если бы первый ход был ваш, вы должны были бы вести игру так:
Последняя спичка ваша – вы выиграли.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
2. Спичечные задачи
2. Спичечные задачи Коробок спичек – не только крошечная палата мер, но и своего рода ящик с сюрпризами, заключающий в себе обширный выбор забавных, а подчас и довольно замысловатых задач и головоломок. Вот один из многочисленных образчиков подобных задач; для начала
План на вторую половину игры
План на вторую половину игры Несмотря на поднятую СМИ шумиху, гонка по расшифровке генома человека в действительности начиналась заново. Поясним, в чем здесь суть. ДНК содержит схему работы всего организма. Но прежде чем организм начнет справлять свои надобности, схему
4. Немного арифметики на спичках
Это – задача-шутка, довольно забавная. На столе лежат 3 спички. Не прибавляя и не ломая ни одной спички, сделайте из этих трех спичек – четыре!
Вы делаете «четыре», – просто четыре, а не четыре спички – следующим образом (см. рисунки 40 и 41):
Таким же незамысловатым, но для многих неожиданным способом вы могли бы сделать из трех спичек шесть (VI), из четырех – семь (VII) и т. д.
Вот еще образчик задачи-шутки подобного же рода: 3+2 = 8!
На столе лежат 3 спички. Прибавить к ним еще две – и получите… восемь!
И здесь выручает римская нумерация. Вот ответ:
Три кучки спичек Задача 29-я
На столе лежат 48 спичек, распределенные по трем кучкам. Сколько спичек в каждой кучке, вы не знаете. Зато вы знаете следующее: когда из первой кучки переложили во вторую столько, сколько в этой второй кучке имелось, затем из второй в третью столько, сколько в этой третьей имелось, – и наконец из третьей в первую столько, сколько в этот момент в первой кучке имелось, то во всех трех кучках оказалось спичек поровну. Можете ли вы сказать, сколько спичек было в каждой кучке первоначально?
Задачу нужно решать с конца. Нам говорят, что после всех перекладываний число спичек в кучках оказалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек во всех трех кучках не изменилось и, значит, осталось прежнее (48), то и каждой кучке после трех перекладываний оказалось по 16 спичек. Следовательно, к концу имеем:
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько, сколько в ней имелось, т. е. число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а 8 спичек; в 3-й же кучке, откуда эти 8 спичек были взяты, имелось 16+8 = 24. Теперь у нас такое распределение спичек:
Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до второго перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания, т. е. до того, как из 1-й кучки было переложено во вторую столько спичек, сколько в этой второй имелось – распределение спичек было такое:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Нетрудно убедиться, проделав требуемые задачей переложения, что ответ верен.
Еще немного алгебры Задача 30-я
Любопытно, что предыдущую задачу можно было бы решить даже и в том случае, если бы в условии не указывалось точного числа спичек во всех кучках. А именно, задачу можно было предложить в таком виде:
Из полного коробк? вынуты несколько спичек, а остальные распределены по трем кучкам. Потом сделаны были следующие переложения: из 1-й кучки во 2-ю столько, сколько было во 2-й; из 2-й в 3-ю столько, сколько было в 3-й; из 3-й в 1-ю столько, сколько было в 1-й, – и тогда во всех кучках оказалось спичек поровну. Каково было первоначальное расположение спичек в кучках?
Пусть после третьего перекладывания оказалось в каждой кучке по а спичек, т. е. распределение было такое:
До этого – как вы легко сообразите сами, – распределение было
Более раннее распределение:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Возможно оно, очевидно, лишь в том случае, если число спичек а делится без остатка на 8. Значит, число а может равняться 8, 16, 24 и т. д., а число спичек во всех трех кучках (3 а ) могло быть только
Но в коробк? обычно бывает примерно около 55 спичек. Мы знаем, что из коробка было вынуто несколько спичек. Ясно, что единственное подходящее число в предыдущем ряду – 48. Это и есть ответ задачи.
Наше спичечное производство
Знаете ли вы, сколько всего спичек потребляется ежегодно всеми жителями нашего Союза? На первый взгляд кажется, что узнать это очень трудно: кто же ведет учет потребленным им спичкам! Но вопрос разрешается очень просто, если подойти к нему с другого конца: узнать, сколько спичек изготовляется у нас в течение года. Определить это уже гораздо проще, так как производительность всех спичечных фабрик Союза учитывается. Вся союзная выработка спичек в 1926 г. намечена в количестве 2.400.000 ящиков. Так как в ящике 1000 коробков, то всего изготовляется у нас 2.400.000.000 коробков.
Вы яснее представите себе это огромное число коробков, если вообразите их наложенными один на другой. Какой высоты получился бы столб? Это нетрудно подсчитать, если знать, что толщина одной коробки 1 1/2 сантиметра. Выполним умножение:
1 1/2 х 2.400.000.000 = 3.600.000.000 сантиметров.
Так как в одном километре 100x1000, т. е. 100.000 сантиметров, то полученное нами число составляет 36.000 километров. Это чуть не втрое больше поперечника земного шара! Немного не хватает, чтобы окружить этим столбом всю землю по экватору (для этого понадобилось бы 40.000 километров).
Еще более внушительные числа получаются, если подсчитать число отдельных спичек, изготовляемых в нашем Союзе в течение года. Будем считать, ради удобства расчета, что в каждом коробке 50 спичек (обычно бывает немного больше). Тогда имеем:
50x2.400.000.000 = 120.000.000.000 спичек.
Как прочесть это число? Единица с 6-ю нулями есть миллион; единица с 9-ю нулями – миллиард. Значит, наше число читается так: сто двадцать миллиардов.
Выложенные в одну линию, конец к концу, эти 120 миллиардов спичек имели бы в длину 5x120.000.000.000 = 600.000.000.000 сантиметров, или 6.000.000 километров!
Для такого длинного ряда спичек не нашлось бы места не только на всем земном шаре, но даже в пределах от Земли до Луны, потому что расстояние от нас до ночного светила составляет «только» 400.000 километров. Наша спичечная линия в 15 раз длиннее этого расстояния, – как наглядно показано на рис. 43.
Интересно еще подсчитать, какой объем занимают все эти спички, вместе взятые. Умножив длину спички – 50 миллиметров – на ее толщину (2 мм) и ширину (2 мм), получаем объем одной спички 50x2x2=200 куб. миллиметров. Затем остается перемножить
200x120.000.000.000=24.000.000.000.000 куб. мм.
Так как в одном куб. метре заключается
1.000x1.000x1.000=1.000.000.000 куб. мм,
то объем получается в 24.000 куб. метров! Образовалась бы прямая горка примерно таких размеров: 100 метров в длину, 24 метра в ширину и 10 метров в высоту (потому что 100x24x10=24.000).
Миллион спичек Задача 31-я
Сейчас мы забрели в мир чисел-великанов, которые с трудом охватываются нашим воображением. Правда, по отношению к спичкам такой числовой исполин, как миллион – довольно подходящая числовая мера: фабрика, вырабатывающая в одни сутки миллион спичек – не редкость. А между тем, чтобы только отсчитать этот миллион спичек одну за другой, откладывая ежесекундно по спичке, потребовалось бы времени больше суток. Сколько же именно?
В сутках 24x60x60=86.400 секунд. Поэтому, если заниматься счетом спичек без перерыва день и ночь, то в течение одних суток удалось бы отсчитать всего 86.400 штук. А чтобы отсчитать миллион спичек, потребовалось бы почти 12 суток беспрерывного счета!
Биллион и триллион
Иному читателю покажется, пожалуй, что вырабатывая по миллиону спичек в сутки, фабрика довольно скоро доберется до такого числового великана, как биллион, т. е. миллион миллионов. Думать так – значит не понимать, что такое биллион.
В самом деле. Мы сейчас видели, что годовая производительность всех спичечных фабрик нашего Союза не превышает 120 миллиардов, т. е. 120.000 миллионов штук. Значит, чтобы изготовить 1.000.000 миллионов (т. е. биллион) спичек, потребовалось бы более 8 лет! А одна фабрика, выделывающая по миллиону спичек в сутки, справилась бы с этим только в миллион суток, т. е. примерно в 3.000 лет!
Следующий числовой исполин, триллион, – в миллион раз больше биллиона [24] . Если триллион спичек выложить, конец к концу, в один прямой ряд, то знаете ли, как далеко вытянется этот ряд? На 5 триллионов сантиметров, т. е. на 50 биллионов (50.000.000.000.000) километров! Световой луч, пробегающий 300.000 километров в секунду, делает в год 9 1/2 биллионов километров; следовательно, вдоль нашей спичечной линии луч света будет скользить от одного конца до другого 5 лет! Это значит, что триллион спичек можно было бы протянуть от нашей планеты дальше звезды альфы в созвездии Центавра!
Не думаю, чтобы таким сопоставлением я заметно облегчил вам понимание огромности триллиона: звездные расстояния едва ли не труднее представлять себе, чем исполинские числа. Но полезно знать, по крайней мере, что оба представления – триллиона и звездных расстояний – одного порядка трудности.
5. Немного геометрии на спичках
5. Немного геометрии на спичках Горизонтально и вертикальноЗадача 32-яПопросите товарища положить на стол одну спичку горизонтально. Он положит, разумеется, так: Рис. 44.Затем попросите его положить возле первой спички вторую спичку вертикально. Сделает он это примерно
6. Немного физики на спичках
6. Немного физики на спичках Спички и булавкаКак вы думаете, что тяжелее: спичка или средней величины булавка? Угадать трудно. Вы можете сколько угодно взвешивать в руке спичку и булавку, – а все-таки не определить, какая из этих вещиц тяжелее. Разрешить вопрос могут
«Спойлер арифметики» и общая теория относительности
«Спойлер арифметики» и общая теория относительности В 1949 г. Эйнштейна обеспокоило открытие одного из его близких друзей и коллег, венского математика Курта Гёделя из Института перспективных исследований в Принстоне, где работал и Эйнштейн. Гёдель нашел внушающее
Немного истории Глава 6
Немного истории Глава 6 …где рассказывается, как познание природы методом словесного жонглирования заменилось экспериментом.Читатель узнает также, что великолепные успехи науки придали излишнюю самоуверенность физикам XIX века: они думали, что нам осталось лишь
Немного фантазии
Немного фантазии Когда я говорю «кончится ли физика?», я имею в виду, закончатся ли исследования новых, неизученных областей этой науки, как это произошло, например, с географией. География «закончилась» в том смысле, что новых, неоткрытых материков, гор, рек, островов на
Немного истории
Немного истории Закон сохранения энергии мог быть сформулирован лишь тогда, когда достаточно отчетливыми стали представления о механической природе теплоты и когда техника поставила практически важный вопрос об эквиваленте между теплом и работой.Первый опыт для
1.4. Немного истории
1.4. Немного истории Бывает нечто, о чем говорят: «смотри, вот это новое»; Но это было уже в веках, бывших прежде нас. Нет памяти о прежнем; да и о том, что будет, Не останется памяти у тех, которые будут после. Книга Екклеcиаста, 1:9, 10 Процессы столкновения малых тел с другими
Глава первая Немного механики
Глава первая Немного механики Скала Эдисона Незадолго до смерти знаменитый американский изобретатель Эдисон пожелал отличить самого сметливого юношу своей страны, назначив ему щедрую денежную поддержку для дальнейшего образования. Со всех концов республики были
Немного старины
Немного старины Вы видели, как много явлений объясняется законом плавания. Но как объясняется самый закон? Вот ясное и простое объяснение, принадлежащее одному из первых физиков, французскому ученому XVII века Паскалю: «Вода, – писал он, – давит вверх на тела, к которым
Немного о смене убеждений
3. Спичечные игры
На столе лежат три спички
ЗАГАДКИ - ГОЛОВОЛОМКИ запись закреплена
Читайте также: