На гладком столе лежит прямоугольный сосуд длиной 1м внутри сосуда находится тонкий поршень

Обновлено: 16.05.2024

Физика Демков В.П. "Физика. Теория. Методика. Задачи" 127
Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи — М.: Высшая школа, 2001. — 669 c.
Предыдущая 128 129 130 131 132 133 .. 290 >> Следующая
(2)
с учетом (1) из (2) получим
• Ответ'. Ah = -
pV^-RT,
Ц

дл =
mRAT
Уц
mRAT
или
mR
Т\ n(Mg/S+p0)'
mRAT
ii(Mg/S+p?S \i(Mg+p0S)
-* 2,7 cm.
ii(Mg+p0S)
9.50. В вертикальном открытом сверху цилиндрическом сосуде поперечным
сечением 5 = 40 см2 на высоте h = 40 см от дна находится в равновесии
поршень массой m = 2 кг, поддерживаемый столбом воздуха. Насколько
опустится поршень, если на него поставить гирю массой М- 10 кг?
295
Рис. 9.6
Атмосферное давление р0 = 10 Па. Трения нет, температуру воздуха считать
постоянной.
9.51. В гладкой, открытой с обоих торцов вертикальной трубе, имеющей два
разных сечения, находятся в равновесии два поршня, соединенные невесомой
нерастяжимой нитью, а между поршнями v = 1 моль идеального газа (рис.
9.6). Площадь сечения верхнего поршня на 5=10 см2 больше, чем нижнего.
Общая масса поршней т = 5 кг. Давление наружного воздуха р0 = 1 атм. На
сколько градусов надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились
на расстояние Д/ = 5 см?
9.52. В вертикальном открытом цилиндре над закрепленным снизу поршнем
находится газ, закрытый сверху другим поршнем. Расстояние между поршнями
равно й0. На верхний поршень до самого верха цилиндра налит слой жидкости
плотностью р высотой й0. На какое расстояние надо поднять нижний поршень,
чтобы над верхним остался слой жидкости высотой h < й0? Атмосферное
давление р0. Массой поршней пренебречь, температуру считать постоянной.
• Решение. Поскольку поршни невесомы, то дааление газа под поршнем В
(рнс. 9.7) будет определяться внешним давлением и В давлением
гидростатического столба жидкости. Прн перемещении нижнего поршня верхний
поршень будет также подниматься, прн э^м часть жидкости вытечет, тем А
самым уменьшив давление, оказываемое на газ. Это приведет к
изотермическому расширению газа от объема Vx = h0S (где
S - площадь поперечного сечения цилиндра) до объема У2 = (2A0~x-h)S,
где х -величина перемещения поршня А.
Поскольку до н после перемещения поршней поршень В находится в
равновесии, то это означает, что давления над и под поршнем В одинаковы.
Следовательно,
P\=Po + PghO> P2=Po + PSk (1)
где ри р2 - давления газа, заключенного в объеме между поршнями до н
после перемещения поршня А соответственно. Записав закон Бойля - Марнотга
Р\ h0S = p2(2h0~x-h)S
с учетом (1)
(Ро + Р 8 йо) К = (Ро + Р ёh) (2А0 ~x-h),
получим
Ро
Ро
Рнс. 9.7
x = 2hn
• Ответ : х = 2h0 - Л -
Po + PgJ"o
. Po+Pghp ' " , L O'
Po + Pgh
Po + Pgh
9.53. В открытом вертикальном цилиндрическом сосуде, заполненном
воздухом, находятся в равновесии два одинаковых тонких тяжелых порш-
296
о
Ах
TV
ия. Расстояние между поршнями и расстояние от нижнего поршня до дна
сосуда одинаковы и равны /. Давление между поршнями равно удвоенному
атмосферному давлению р = 2р0. На верхний поршень давят таким образом,
что он перемещается на место нижнего. На каком расстоянии от дна будет
находиться нижний поршень? Трения нет, температуру считать постоянной.
9.54. Вертикальный цилиндрический сосуд, открытый сверху, разделен тонким
поршнем массой т так, что объемы воздуха в верхней и нижней частях
одинаковы. Высота сосуда 21, площадь поперечного сечения S. Давление в
верхней части равно атмосферному р0. Сосуд герметически закрывают и
переворачивают вверх дном. На какое расстояние сместится поршень? Трения
нет, температуру считать постоянной.
9.55. На гладком столе лежит прямоугольный сосуд длиной / = 1 м. Внутри
сосуда находится тонкий поршень, делящий объем сосуда на равные части
(рис. 9.8), в каждой из которых содержится воздух при температуре t =
27°С. На какое расстояние переместится сосуд, если воздух в одной части
сосуда нагреть на АТ =60 К, а в другой - охладить на АТ = 60 К? Трения
между поршнем и сосудом нет. Массой сосуда и поршня пренебречь.
• Решение. При нагревании воздуха, например, в левой части сосуда н
охлаждении в правой, поршень сместится в сторону более холодного газа.
Но в целом центр масс системы останется на прежнем месте (в направлении
оси ОХ система замкнута, см. §3).
Поскольку сосуд расположен горизонтально, а поршень находится в
равновесии, то давление воздуха по обе стороны от поршня одинаково.
Запишем обобщенный газовый закон для воздуха в обеих частях сосуда в виде
Ро$'Л1 pSQftl + x) PpS'hl pSQ/zI-x)
Т ~ Т+АГ ' Т ~ Т-&Г ' где р0, р - начальное н конечное давление воздуха в
сосуде; S - площадь поперечного сечения сосуда. Следовательно, смещение
поршня относительно сосуда
/ДГ
* 2 Г '
а начальная н конечная координаты центра масс системы
m '/4 I + m >А I I
*ci- , ~ з >
m + m
m(lAl+lAx-Ax) + m(3AI+lAx-Ax) 1-2&х + х
ХС2~ ~ 1 '
ttt + м
где m - масса воздуха в каждой части сосуда.
Следовательно,
_/ _ / -2&х + х .
*с 1 ~ *с 2>
Ответ: Ах = = 5 см.
4 Т
X
]А1+]Лх-Ах 3/4l+]/zx-Ax
:р\
Рис. 9.8
Л х /ДГ -2 = ~4Г"= СМ'
297
|, -21
11111 11111 III!! .III
9.56. В прямоугольном закрытом с обоих торцов горизонтальном сосуде
Предыдущая 128 129 130 131 132 133 .. 290 >> Следующая

Скрытые «пружины»

В школьном курсе физики изучаются два вида механических колебательных систем: математический и пружинный маятники. Сравнение и анализ уравнений колебаний в этих системах позволяют сделать вывод: колебания в обоих случаях являются гармоническими, т.е. происходят по законам синуса или косинуса (впоследствии этот вывод обобщается и на электромагнитные колебания в колебательном контуре):

где m – масса колеблющегося тела, a – его ускорение, g – ускорение свободного падения, l – длина маятника, x – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент жесткости пружины. Оба уравнения можно записать в общем виде:

где w ₀ – собственная циклическая частота колебаний. Как видим, ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия. Знак «–» указывает на то, что направление смещения тела от положения равновесия и направление действия возвращающей силы противоположны.

Хотя далеко не все механические колебательные системы представляют собой в явном виде пружинный или математический маятники, многие из них можно представить как их комбинацию. Другими словами, любые механические колебания, в которых возвращающая сила прямо пропорциональна величине смещения колеблющегося тела от положения равновесия, происходят по гармоническому закону. Такие возвращающие силы называют квазиупругими. В общем случае период колебаний можно рассчитывать по формуле или если определиться, что в каждом конкретном случае будет играть роль массы колеблющегося тела, что – роль жесткости пружины («гравитационной», «пневматической», «гидравлической», «фрикционной» и т.п.), что - длины маятника.

Задачи на выявление аналогий с пружинным или математическим маятником встречаются в сборниках задач, но к сожалению, только по одной-две, что не позволяет учащимся выработать системный подход к их решению. Вот и приходится учителю листать задачники, в основном старые, изданные лет 20–30 назад. Приведем несколько задач и их решения в общем виде.

Задача 1. По внутренней поверхности полусферической чаши радиусом кривизны R свободно скользит маленький шарик. Найдите период его малых колебаний.

Итак, выполним рисунок и покажем на нем силы, под действием которых происходит движение (рис. 1). Малость размеров шарика позволяет считать его материальной точкой. Видно, что «расстановка» сил и их действие такие же, как в случае математического маятника, с тем лишь отличием, что

вместо силы натяжения нити действует сила реакции опоры. Применяем закон колебаний математического маятника, заменяя в формуле для периода колебаний длину маятника на радиус чаши:

Задача 2. Вблизи поверхности Земли прорыт сквозной прямой туннель. В нем проложили рельсы и пустили вагонетку, которая движется без сопротивления. Каким будет период свободных колебаний вагонетки (от одного выхода туннеля до другого и обратно)? Радиус Земли равен R.

Слова «вблизи поверхности» позволяют считать, что расстояние от центра Земли до вагонетки практически постоянно и равно R и что амплитуда колебаний мала по сравнению с ним (рис. 2). Проведем координатную ось x и отметим на ней положение равновесия вагонетки – точку O (рис. 3). Покажем силы, действующие на вагонетку в какой-либо произвольной точке x.

Оказывается, и эта ситуация сводится к математическому маятнику, а сила тяготения играет роль силы натяжения нити. Но для описания характера движения не важна природа действующих сил, главное, что их равнодействующая F направлена вдоль туннеля к положению равновесия и пропорциональна смещению. Итак, мысленно перевернув систему, считаем ее подобной математическому маятнику и применяем формулу .

Проверим наш подход математически. Запишем векторное уравнение для равнодействующей силы:

N + mg = F = ma.

Вдоль координатной оси Оx:

mg sin a = ma Ю g sin a = a.

С другой стороны, угол a можно связать и с расстояниями. Учитывая что мы «перевернули» вагонетку, получим: Подставив это выражение в предыдущее, получим: Отметим, что ускорение прямо пропорционально смещению вагонетки от положения равновесия (координате x). Это очень важно, поскольку именно этот факт позволяет нам считать колебания вагонетки гармоническими с периодом

Задача 3. В U-образную стеклянную трубку постоянной площадью поперечного сечения S налита ртуть массой m. Плотность ртути r. Найдите период колебаний ртути после того, как трубку качнули.

Сначала, как обычно, выполним схематический рисунок, на котором покажем начальные уровни столбов ртути в обоих коленах трубки, а также (пунктиром) положения этих уровней при наклоне (рис. 4). Величину отклонения обозначим x. Как известно, при открытых обоих коленах уровни в них в равновесии равны, т.к. равны их гидростатические давления (давления pА и pВ на дно соответственно в точках А и В). Если

уровни жидкости в коленах оказались разными, то возникает разность давлений и сила, стремящаяся возвратить жидкость в равновесное состояние.

Пусть в некоторый момент в левом колене высота столба ртути уменьшилась на величину x, а в правом – на столько же возросла. Возникла разность гидростатических давлений:

Отсюда находим численное значение возвращающей силы F, учитывая, что направление смещения столбика ртути в колене противоположно направлению действия этой возвращающей силы:

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона F = ma, где m – масса тела, на которое действует сила. Возвращающая сила благодаря силам межмолекулярного взаимодействия действует на все количество ртути, находящейся в трубке, т.е. в данном случае m – масса всей ртути. Отсюда:

Важно, что в полученном выражении возвращающая сила прямо пропорциональна смещению x, т.е. колебания будут гармоническими. Величина 2rgS играет роль коэффициента жесткости «гидравлической» пружины. Поэтому окончательное выражение для периода:

Перейдем к другому примеру «гидравлической» пружины, действие которой обусловлено не разницей гидростатических давлений, а действием выталкивающей (архимедовой) силы и силы тяжести.

Задача 4. На поверхности воды плотностью r плавает бутылка массой m и площадью поперечного сечения S. Найдите период свободных вертикальных колебаний бутылки при условии, что в воде находится только ее цилиндрическая часть (т.е. горлышко в воду не погружается).

Начинаем, разумеется, с рисунков. На левом покажем бутылку в равновесном положении, глубину ее погружения h и действующие на бутылку силы (рис. 5, a), на правом – бутылку в «притопленном» на глубину x положении (рис. 5, б).

В начальном (равновесном) положении:

В «притопленном» положении на бутылку действует такая же сила тяжести и возросшая архимедова сила F_А ' , т.к. увеличился объем погруженной части бутылки. Равнодействующая этих сил не равна нулю и направлена вверх. Следовательно:

Подставив в это выражение формулу (3), получаем:

Выразим величины сил F_А и F_А ' через объем погруженной части бутылки. Так как она имеет форму цилиндра c основанием S, то в равновесном состоянии объем погруженной части V = Sh, а в «притопленном» V ' = S(h + x). Соответственно силы равны:

После подстановки этих выражений в формулу (4), получим:

При расчете объема мы учитывали только модуль x. Поскольку направление дополнительного погружения бутылки противоположно направлению действия равнодействующей силы, запишем:

Снова ускорение прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия, т.е. колебания гармонические. Величина r gS выполняет функцию коэффициента жесткости «гидравлической» пружины (k = r gS). Отсюда:

Задача 5. Цилиндрический сосуд длиной 2l расположен горизонтально. Посередине цилиндра находится в равновесии тонкий легкоподвижный поршень массой m и площадью S. Справа и слева от поршня давление воздуха составляет p₀. Найдите период малых колебаний поршня.

Возникает вопрос: а как этих колебаний добиться, ведь поршень находится внутри закрытого сосуда? Ответ: например, встряхнув цилиндр. Далее, обратим внимание на то, что речь идет о колебаниях малой амплитуды, что позволяет считать колебательный процесс в обоих отсеках сосуда изотермическим и применить закон Бойля–Мариотта. [При реальных значениях параметров колебания, так же как и при распространении звука в воздухе, будут адиабатическими. Изотермичность колебаний необходимо дополнительно ввести в условие задачи. – Ред.] Затем, поскольку поршень тонкий, можно считать начальную длину каждого отсека равной l – половине длины всего цилиндра. Наконец, поршень, по условию, движется легко, т.е. трения между поршнем и стенками сосуда нет.

Решение начинаем, как обычно, с рисунков. На рис. 6, а покажем цилиндр при равновесном положении поршня, обозначим длины отсеков и давление газа в них, на рис. 6, б – цилиндр со смещенным на расстояние x поршнем и давления газа в отсеках.

Применим закон Бойля–Мариотта к газу в левом отсеке:

где V₀ = lS – объем левого отсека при равновесном положении поршня, V₁ = (l – x)S – при смещенном. Выполнив те же действия для правого отсека, получаем:

Наличие возвращающей силы обусловлено разностью давлений газа слева и справа от поршня. Эту силу согласно второму закону Ньютона можно связать с ускорением, сообщаемым поршню:

Выражая p₁ из уравнения (2) и подставляя его в выражение (3), получаем:

Аналогично, выражая p₂ из уравнения (1) и подставляя его в (3):

Вспомним, что колебания малые: если x мало, то x 2 – малая величина, которой можно пренебречь на фоне l 2 :

Сделаем еще один шаг: поскольку направления возвращающей силы F и смещения противоположны, то в одну из частей последнего равенства добавим «–»:

т.е. и в этой колебательной системе ускорение прямо пропорционально координате. Сравнение этого уравнения с уравнением колебаний груза на пружине позволяет сделать вывод, что величинаиграет роль коэффициента жесткости «пневматической» пружины для поршня массой m. Период малых колебаний поршня равен

Наконец рассмотрим самую сложную задачу - про «фрикционную пружину».

Задача 6. Два одинаковых ролика вращаются с одинаковой угловой скоростью в противоположные стороны. Ролик слева – по часовой стрелке, ролик справа – против часовой стрелки. Оси вращения роликов лежат в горизонтальной плоскости, расстояние между ними l. На ролики положена доска, коэффициент трения которой о ролики равен m. Изначально центр доски находился на одинаковом расстоянии от осей роликов. Если ролики начнут вращаться одновременно, то доска останется в равновесии (в состоянии покоя). Но если доску чуть-чуть подтолкнуть вдоль ее длины, то она начнет совершать колебания на роликах в горизонтальной плоскости. Найдите период этих колебаний.

Итак, изобразим эту систему и обозначим силы при равновесном положении доски (рис. 7). Сила тяжести mg компенсируется силами реакции опор N₁ и N₂. Если доску сдвинуть на расстояние x, то нагрузка на ролики перераспределится. Ролик с большей нагрузкой будет действовать на доску с большей силой трения, ролик с меньшей нагрузкой – с меньшей; в результате доска начнет двигаться в направлении, обратном смещению. Она по инерции пройдет положение равновесия, нагрузка на ролики вновь перераспределится, и теперь уже другой ролик заставит доску двигаться в обратную сторону и т.д. Возникнут колебания.

Рассмотрим смещенное положение доски. Пусть x – величина смещения в какую-либо сторону (рис. 8). Для определения сил реакции опор покажем плечи этих сил и плечи силы тяжести относительно точек O₁ и O₂

(см. верхнюю часть рисунка). Как известно, если тело не вращается, то алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю (отсчитывать моменты можно относительно любой точки, если векторная сумма сил, создающих эти моменты, равна нулю. Это существенно):

Найдем отсюда силы реакции опор:

Поскольку при смещении равновесие доски нарушилось, то:

Величина силы трения (скольжения) зависит от силы реакции опоры: F_тр = m N. Так как N₁ > N₂, то F_тр1 > F_тр2. Следовательно, вектор ускорения a направлен в ту же сторону, что и вектор F_тр1. Поэтому при проецировании последнего векторного равенства на ось x, получается:

Выражая силы трения через соответствующие силы реакции опор, находим:

Подставляя эти выражения в (4) для расчета ускорения и упрощая, имеем:

С учетом направления смещения x (оно противоположно направлению возвращающей силы) получаем уравнение:

которое указывает на гармонический характер колебаний доски на роликах.

Сравнивая его с уравнением колебаний груза на пружине мы видим, что играет роль откуда период колебаний

Разумеется, множество задач на «скрытые пружины» не исчерпывается приведенными выше, но наша цель состояла в выработке системного подхода к их решению. Будем надеяться, что кто-нибудь из читателей продолжит этот список.

Идеальный газ в конкурсных задачах

Краткая теория. Взаимодействие молекул идеального газа друг с другом происходит путём абсолютно упругих соударений. Суммарный объём молекул пренебрежимо мал по сравнению с объёмом, занимаемым газом. Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева:

где p, V, T – соответственно давление, объём и абсолютная температура газа, m и M – масса и молярная масса газа, – универсальная (т.е. одинаковая для разных газов) газовая постоянная. Величина называется количеством вещества и выражается в молях. Эта величина, как и масса, аддитивна, т.е. суммируется. Поэтому уравнение (1) для смеси n газов примет вид

Молярная масса конкретного газа определяется по формуле , где M_r – определяемая по таблице Менделеева относительная молекулярная масса.

Закон сохранения и превращения энергии с учётом тепловых явлений – первое начало (закон) термодинамики: количество теплоты, подведённое к телу, равно изменению внутренней энергии тела плюс работе, совершаемой телом над внешними телами, т.е.

Задача 1. Два сосуда, содержащие один и тот же газ, соединены трубкой с краном. Объёмы сосудов равны V₁ и V₂, а давления в них p₁ и p₂. Каким будет давление газа после открытия крана соединительной трубки? Температура газа в обоих сосудах одинакова и не изменяется после открытия крана.

Решение. Запишем уравнение (1) для газа в обоих сосудах до открытия крана, а затем уравнение состояния газа в едином сосуде после его открытия. Эти уравнения образуют систему:

где m₁ и m₂ – массы газа в первом и втором сосудах соответственно. Сложив почленно первые два уравнения и сравнив получившееся уравнение с третьим, получим p(V₁ + V₂) = p₁V₁ + p₂V₂, откуда искомое давление

Задача показывает, что нет ничего страшного в том, что в системе уравнений неизвестных (p, m₁, m₂, M, T) больше, чем уравнений. Ведь от нас не требуется найти все неизвестные. Поэтому в такой ситуации не следует искать «недостающие» уравнения – их не существует.

Задача 2. Газ, масса которого равна m₁, а молярная масса M₁, смешали с газом, масса которого равна m₂, а молярная масса M₂. Найдите среднюю молярную массу смеси.

Решение. Так как количество вещества смеси газов то искомая средняя молярная масса смеси Отметим, что полученная формула легко обобщается на случай смеси n газов:

Задача 3. Трубка длиной l, открытая с обоих концов, наполовину погружена в ртуть. Трубку сверху закрывают пальцем и вынимают из ртути. Чему равна длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление уравновешивается столбом ртути высотой H.

Решение. Пусть длина столбика ртути, оставшегося в трубке, равна x. Поскольку он находится в равновесии, то сумма действующих на столбик сил равна нулю: F₁ + F₂ + mg = 0. Здесь mg – сила тяжести, F₁ и F₂ – силы давления атмосферного и разреженного воздуха над ртутью соответственно.

Из векторного равенства вытекает скалярное: F₁ = F₂ + mg. Так как F₁ = p₁S, F₂ = p₂S, где S – площадь сечения трубки,

По условию, тогда В последнем уравнении два неизвестных: x и p₂. Значит, нужно ещё одно уравнение. Его нам даст закон Бойля–Мариотта, записанный для воздуха в верхней половине трубки: Исключая p₂ из системы уравнений

приходим к квадратному уравнению:

с двумя положительными корнями:

Какой из них выбрать? Очевидно, что

Задача 4 (мехмат МГУ, 1988). На рисунке показан цикл, совершаемый над идеальным газом, причём участок 1–2 изображает изохорный процесс, 2–3 – изобарный. Температуры газа в точках 1 и 3 равны соответственно T₁ = 300 К и T₃ = 400 К. Найдите температуру T₂ газа в точке 2. Масса газа постоянна.

Решение. Сначала запишем уравнение для трёх вершин треугольника:

Пользуясь рисунком, меняем индексы у величин p₃ и V₂:

Далее исключаем неизвестную величину

Осталось воспользоваться несколько скрытым условием задачи: точки 0, 1, 3 лежат на одной прямой, следовательно,

Но p₃ = p₂, следовательно, левые части уравнений в последней системе равны. Тогда равны и правые части: откуда T₂ = 346 К.

Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Посередине лежащего на боку заполненного газом запаянного цилиндрического сосуда длиной L = 1 м находится тонкий поршень массой m = 0,1 кг и площадью S = 10 см 2 . Если сосуд поставить на основание, то поршень перемещается на расстояние l = 1 см. Каково было начальное давление p газа в сосуде? Трение между стенками сосуда и поршнем отсутствует.

Решение. Рассмотрим сосуд в горизонтальном и вертикальном положениях. Запишем по закону Бойля–Мариотта два уравнения, дополнив их условием механического равновесия поршня:

Выразим из первого уравнения p₁, из второго – p₂ и подставим эти величины в третье уравнение. В результате найдём из линейного уравнения искомое неизвестное:

Задача 6. Зимой в комнате был включён электронагреватель мощностью 1 кВт, который работал 1 ч. Найдите изменение внутренней энергии воздуха в комнате.

Решение. Окружающий нас воздух представляет собой смесь двухатомных газов, если правомерно пренебречь ничтожной примесью инертных газов. Тогда внутренняя энергия воздуха

С учётом формулы (1) Объём комнаты V = const. А что будет с давлением? Отметим, что реальное жилище – не наглухо изолированный от внешнего мира бункер. Как только включили нагреватель, давление слегка повысится по сравнению с атмосферным. Воздух через мельчайшие щёлочки начнёт выходить из комнаты. Давления внутри и вне тут же сравняются. Так что и p = const. Но тогда и U = const, следовательно, изменение внутренней энергии А нагреватель включили не для увеличения внутренней энергии воздуха, а чтобы в комнате повысилась температура!

Задача 7 (физфак МГУ, 1977). Идеальный газ медленно переводят из состояния с объёмом V₁ = 32 л и давлением p₁ = 4,1•10 5 Па в состояние с объёмом V₂ = 9 л и давлением p₂ = 15,5•10 5 Па так, что давление во время сжатия изменяется в зависимости от объёма по линейному закону p = aV + b, где a и b – постоянные величины. При каком объёме температура газа в этом процессе будет наибольшей?

Решение. Имеем систему уравнений:

из которой последовательно исключаем b и a:

Из последнего уравнения и уравнения (1) легко вывести: Зависимость температуры от объёма представляет собой квадратичную функцию с отрицательным коэффициентом (при заданных значениях p₁, V₁, p₂, V₂) при старшем члене. Значит, наибольшее значение температуры достигается при

Задача 8. Некоторую массу m идеального газа с молярной массой M нагревают под поршнем так, что его температура, изменяясь пропорционально квадрату давления, возрастает от первоначального значения T₁ до T₂. Определите работу, совершённую газом.

Решение. Из системы уравнений

где

где k = const. Видим, что давление прямо пропорционально объёму, т.е. непостоянно. В таком случае работа определяется с помощью интеграла:

Однако для линейных функций удобнее строить их графики в системе координат (p, V) и находить работу как площадь трапеции под графиком. По формуле площади трапеции (обычной, а не криволинейной):

Задача 9 (МФТИ, 1976). В цилиндре под лёгким поршнем находится m = 14 г азота при T = 300 К. Какое количество теплоты необходимо ему сообщить при изотермическом увеличении объёма на

Решение. По первому началу термодинамики, Но в изотермическом процессе для идеального газа U = const, откуда Значит, Q = A.

При T = const вычислить работу без интеграла, вообще говоря, нельзя. Однако, учитывая, что в первом приближении заменяем криволинейную трапецию обычной.

Интересно сравнить приведённое решение с точным решением, полученным с применением интеграла:

Разлагая натуральный логарифм в ряд: – и ограничиваясь тремя первыми членами, получим

Физика в задачах для поступающих в вузы → 8 . 7 . Объединенный..

8.7.1. При сгорании бензина в двигателе легкового автомобиля образуется сильно нагретый газ. Объем камеры сгорания V1 = 0,2 л, а температура газа t1 = 1527 °С. Газ расширяется до объема V2 = 1,4 л и давленияр2 = 2,5 атм, а температура газа понижается до і2 = 627 °С. Определите начальное давление газа.

8.7.2. Если температуру газа увеличить на п1 = 10%, а давление увеличить на П2 = 20%, то объем газа уменьшится на ДV = 1л. Найдите начальный объем газа.

8.7.3. Если давление газа увеличить на п1 = 20%, а объем уменьшить на П2 = 10%, то температура газа изменится на ДТ = 24 К. Найдите начальную и конечную температуры газа.

8.7.4. Сколько баллонов водорода емкостью Vo = 50 л при давлении po = 40,5 МПа и температуре To = 300 К потребуется для наполнения аэростата объемом V = 1000 м3, если давление в нем при температуре T = 280 К должно быть р = 98 кПа? Изменится ли ответ, если водород выпускать не сразу из всех баллонов, а поочередно — сначала из одного баллона, потом из другого и т. д.?

8.7.5. Тонкая горизонтальная трубка с воздухом запаяна с обоих концов. В трубке находится капелька ртути, делящая объем трубки на равные части. 1. Во сколько раз нужно увеличить температуру воздуха в одной части трубки, чтобы отношение объемов частей стало равным двум? 2. Во сколько раз при этом изменится давление воздуха?

163
8.7.6. Два одинаковых баллона, содержащих газ при температуре і = 0 °С, соединены узкой горизонтальной трубкой диаметром d = 5 мм, посередине которой находится капелька ртути. Капелька делит весь сосуд на два объема по V = 200 см3. На какое расстояние переместится капелька, если один баллон нагреть на Ді = 2 °С, а другой на столько же охладить?

8.7.7. Посередине закрытой с обоих концов трубки длиной 1 = 1м, расположенной горизонтально, находится в равновесии капелька ртути. Слева от нее температура газа t1 = 100 °С, справа — температура того же газа t2 = 0 °С. На каком расстоянии от левого конца трубки установится капелька, когда температура в обеих частях трубки станет одинаковой?

• 8.7.8. На гладком столе лежит прямоугольный сосуд длиной

1 = 1м. Внутри сосуда находится тонкий поршень, делящий объем сосуда на равные части (рис. 8.7.1), в каждой из которых содержится воздух при температуре t = 27 °С. Насколько переместится сосуд, если воздух в одной части сосуда нагреть на ДT = 60 К, а в другой охладить на ДT = 60 К? Трения между поршнем и сосудом нет. Массами сосуда и поршня пренебречь.

8.7.9. Открытый с одного торца сосуд прямоугольного сечения лежит на горизонтальном столе. Площадь поперечного сечения сосуда S = 100 см2, коэффициент трения между сосудом и столом р = = 0,6. Внутри сосуда находится поршень, расположенный на расстоянии 1 = 30 см от закрытого торца. Поршень отделяет от внешнего пространства воздух при температуре To = 250 К и атмосферном

давлении Po = 105 Па. К поршню прикреплена пружина жесткостью k = 100 Н/м, другой конец которой соединен с вертикальной стенкой (рис. 8.7.2). До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух слева от поршня, чтобы сосуд начал двигаться? Масса сосуда с поршнем m = 10 кг, трения между поршнем и стенками сосуда нет.

8.7.10. В середине смежных баллонов, размеры которых указаны на рисунке 8.7.3, находятся поршни, соединенные легким стержнем. Между вертикальными стенками баллонов и поршнями находится воздух при атмосферном давлении и температуре T, пространство между поршнями сообщается с атмосферой. Определите расстояние, на которое сместятся поршни, если воздух за большим поршнем нагреть на Д^ а за меньшим на столько же охладить.

I
ш V- 'Imtk- I Lj
I- j

Рис. 8.7.1 Рис. 8.7.2 Рис. 8.7.3

164
8.8. Уравнение Клапейрона—Менделеева

8.8.1. Емкость камеры для шины легкового автомобиля «Москвич» V = 12 л. Какая масса воздуха нужна для заполнения этой камеры до давленияp = 2 атм? Температура воздуха в камере t = 20 °С.

8.8.2. В одинаковых баллонах объемом V = 100 л каждый при равных температурах t = 0 °С и равных давлениях p = 40 атм содержат (для автогенной сварки) водород и кислород соответственно. Определите массы газов в баллонах. Во сколько раз масса кислорода больше массы водорода?

8.8.3. Вода при температуре t = 27 °С заполняет сосуд на одну треть. Каким стало бы давление внутри сосуда, если бы исчезли силы взаимодействия между молекулами воды? В закрытом сосуде, кроме воды, ничего нет.

8.8.4. При температуре t = 27 °С и давлении p = 2,08 • 105 Па плотность газа р = 1,42 кг/м3. Известно, что молекулы этого газа

представляют собой соединение азота 1^N и водорода 1H . Определите молекулярную формулу этого соединения.

8.8.5.У газа объемом V = 25 л масса m = 65 г. Температура газа t = 27 °С, давление p = 0,1 МПа. Молекула газа состоит из иона серы (S) и ионов кислорода (O). Найдите число ионов кислорода в этой молекуле. Какой это газ?

8.8.6. По закону Авогадро один моль газообразного вещества при нормальных условиях занимает объем V0 = 22,4 л. Какой объем будет занимать то же количество вещества на поверхности Венеры, если температура ее поверхности t = 500 °С, а давление атмосферы p = 100p0, где р0 — нормальное атмосферное давление вблизи поверхности Земли?
Предыдущая 63 64 65 66 67 68 .. 252 >> Следующая

Задачи по гидростатике

Согласно школьной программе, законы гидростатики изучаются лишь в 7-м классе, возвращение к их изучению и закреплению в дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи на гидростатику относятся к весьма трудным и, если в старших классах не было решено достаточно подобных задач, то на вступительных экзаменах в технические вузы ученик может столкнуться с очень серьёзными, а то и непреодолимыми трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет своей целью дать школьнику и преподавателю физики представление об уровне сложности материала по этой теме.

Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Плотность раствора соли с глубиной меняется по закону ₀ + Ah, где 0 = 1 г/см 3 , А = 0,01 г/см 4 . В раствор опущены два шарика, связанные нитью такой длины, что расстояние между центрами шариков не может превышать L = 5 см. Объём каждого шарика V = 1 см 3 , массы m₁ = 1,2 г и m₂ = 1,4 г. На какой глубине находится каждый шарик?

В силу симметрии шариков относительно горизонтальной плоскости, пороходящей через их центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на уровне центра шарика. Запишем условие равновесия для каждого из шариков и сложим уравнения:

Объединяя все уравнения, находим:

Подставляя числовые данные, получаем:

Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м. Какую работу пришлось на это затратить, если площадь поршня 1 дм 2 , атмосферное давление p₀ = 10 5 Па? Массой поршня пренебречь.

Решение. Сила, которую надо прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до F_max = p₀S. Зависимость этой силы от высоты столба поднятой воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба поднятой воды, S – площадь поршня.

Максимально возможная высота столба воды, поднятой таким способом, h₁ = 10 м, при этом gh₁ = p₀. График зависимости F = F(h) изображён на рисунке. Очевидно, что работа по подъёму поршня равна площади трапеции под графиком F(h):

Подставив числовые данные, получаем A = 10 4 Дж.

Задача 3. Льдина площадью 1 м 2 и толщиной 0,4 м плавает в воде. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность льда 900 кг/м 3 , g = 10 м/с 2 .

Решение. Пусть в исходном состоянии h – глубина погружения плавающей льдины. Запишем условие равновесия и следствия из него:

где _в, _л – плотности воды и льда соответственно, V_погр – объём погружённой части льдины, V – её полный объём, Н – толщина льдины, h – толщина погружённой части.

При погружении льдины сила нажима линейно возрастает от нуля до F_max, совершая работу

Задача 4. Бетонная однородная свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h, большей, чем длины сваи l. Привязав трос к одному концу сваи, её медленно вытаскивают из воды так, что центр тяжести сваи поднимается на высоту H от поверхности воды (H > l). Какая работа совершается при подъёме сваи? Плотность бетона в n раз больше плотности воды. Силами сопротивления пренебречь.

1-й способ. Разобьём работу на три этапа:

Подъём верхнего конца сваи до поверхности воды:

– центр тяжести поднимается на высоту

– сила натяжения троса постоянна и равна mg – F_A;

– работа (плотность бетона, по условию, в n раз больше плотности воды).

Подъём сваи на высоту l – такую, чтобы нижний конец сваи касался поверхности воды:

– сила натяжения троса линейно возрастает от mg – F_A до mg, и работа этой силы равна

Наконец, подъём центра тяжести на высоту H над поверхностью воды:

– сила натяжения троса постоянна и равна mg;

– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на предыдущем этапе).

2-й способ. Применим закон сохранения энергии. Работа равна изменению энергии системы свая–вода. Потенциальная энергия сваи возросла на mg(H + h). Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём, прежде занятый сваей. Отсюда:

Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости плотностями (сверху вниз) и 3 Н/3, H и H соответственно. На дне сосуда лежит стержень из материала плотностью 6 m, длиной H. Какую работу надо совершить, поднимая стержень за один конец вертикально, чтобы его верхний торец коснулся поверхности жидкости плотностью

Пусть V – объём стержня, A₁ – работа по подъёму стержня в жидкости плотностью 3 H/2):

При перемещении стержня из жидкости плотностью 3 до верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется от При этом центр тяжести стержня перемещается на высоту H. Следовательно, работа равна:

A₃ – работа по подъёму части стержня длиной внутри жидкости плотностью 2

A₄ – работа по перемещению части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :

Полная работа равна:

где – масса стержня.

Задача 6. Акселерометр представляет собой изогнутую под прямым углом трубку, заполненную маслом. Трубка располагается в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в горизонтальном направлении с ускорением a уровни масла в коленах трубки соответственно равны h₁ = 8 см и h₂ = 12 см. Найдите величину ускорения a.

Рассмотрим сосуд с жидкостью (аквариум), который движется в горизонтальном направлении с ускорением a. При таком движении поверхность жидкости составляет угол

Такой же перепад высот имеет и жидкость в трубке акселерометра, движущегося с тем же ускорением. Получаем l = h₂ + h₁,

т.к., по условию,

Задача 7 (НГУ). Вертикальный цилиндрический сосуд радиусом R, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси.

К боковой стенке сосуда на нити длиной l привязан воздушный шарик радиусом r; во время вращения нить образует со стенкой угол

Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вокруг вертикальной оси ОО₁. Внутри сосуда к оси OO₁ в точке A прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB, по которому без трения может скользить муфта в виде шара радиусом r. Шар связан с концом A стержня пружиной жёсткостью k, длина которой в нерастянутом состоянии равна L₀. Определите расстояние до центра шара от оси вращения, если плотность материала шара в четыре раза меньше плотности жидкости.

Направим ось X по направлению стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO₁. По условию задачи, перемещение шара возможно лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше плотности жидкости, составляющая силы Архимеда вдоль оси X больше составляющей силы mg_эфф, и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения, сжимая пружину. Исходное положение центра шара L₀ + r. Пусть во время вращения центр шара находится на расстоянии x от оси, при этом пружина сжата на величину L₀ + r – x. Уравнение движения шара массой m по окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m 2 x = F_ц, где сила F_ц – результат сложения горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости сжатой пружины: F_упр = k(L₀ + r – x).

Если

По условию, В итоге получаем ответ:

Задача 9 (НГУ). Цилиндрический космический корабль радиусом R вращается вокруг своей оси с угловой скоростью H, а дном бассейна служит боковая стенка корабля. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длиной l < H, если из воды выступает её верхняя часть длиной

Во вращающейся неинерциальной системе отсчёта роль силы тяжести играет центробежная сила инерции F_ц = m r, где r – расстояние элемента массы m от оси вращения. Центр масс погружённой части палочки находится от оси вращения на расстоянии

Сила Архимеда, действующая на погружённую часть палочки длиной l – F_A = ж r_ц(l – S, где ж – плотность жидкости (воды), S – площадь поперечного сечения палочки.

Центр масс всей палочки находится от оси вращения на расстоянии

Условие плавания палочки: P = F_A, где P – вес палочки.

Приравняв P и F_А, находим плотность палочки:

Вячеслав Леонидович Булынин окончил физический факультет Ленинградского государственного университета в 1964 г. и по 1992 г. работал в научно-исследовательских институтах в области прикладной сверхпроводимости. С 1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию, математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель высшей квалификационной категории, методист ЦО № 17. Автор двух пособий по физике, изданных «Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к государственному экзамену». Женат, имеет двух дочерей.

Читайте также: