На гладком горизонтальном столе лежит доска

Обновлено: 02.02.2023

(Все задачи по статике и гидростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (615 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решать задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

17.29. Цилиндр массой М и радиусом R удерживается на наклонной плоскости намотанной на него нитью. Нить расположена горизонтально, угол наклона плоскости равен α (рисунок слева). Найти силу натяжения нити. При каком значении коэффициента трения это возможно? [смотрите ответ в общем файле]

17.30. Балка удерживается в наклонном положении веревкой (рисунок слева). Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее? [смотрите ответ в общем файле]

17.31. Однородная доска массой М упирается в угол комнаты и удерживается под углом α к горизонту силой, приложенной к свободному концу доски и направленной перпендикулярно доске (рисунок слева). С какой силой доска давит на стену? [смотрите ответ в общем файле]

17.32. От однородного стержня отрезали кусок длиной 40 см. На сколько сместился центр тяжести стержня? [на 20 см]

17.33. Какой должна быть высота x треугольной части тонкой однородной пластины, чтобы центр тяжести пластины находился в точке O (рисунок слева)? Длина прямоугольной части равна l. [смотрите ответ в общем файле]

17.34. Стержень спаян из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями ρ и 2ρ (рисунок слева). При каком отношении длин стержней l1/l2 центр тяжести системы будет находиться в плоскости спая? [смотрите ответ в общем файле]

17.35. Из однородного диска радиусом R вырезано круглое отверстие радиусом r, центр которого находится на расстоянии 1/2R от центра диска. На каком расстоянии от центра диска находится центр тяжести системы? [смотрите ответ в общем файле]

17.36. В вершинах квадрата со стороной a находятся точечные массы: m, 2m, 3m и 4m. С квадратом связана система координат (рисунок слева). Найти координаты центра тяжести системы. [смотрите ответ в общем файле]

17.37. Квадрат со стороной a составлен из четырех тонких стержней одинакового сечения, сделанных из разных материалов с плотностями: ρ, 2ρ, 3ρ и 4ρ. С квадратом связана система координат (рисунок слева). Найти координаты центра тяжести системы. [смотрите ответ в общем файле]

17.38. Квадратная рамка изготовлена из однородной проволоки. У нее отрезали одну сторону. Найти угол между средней стороной и вертикалью, если рамку подвесить на нити за: а) вершину A; б) вершину B (рисунок слева). [a) примерно 53°; b) примерно 33.7°]

17.39. Стержень длиной l, составленный из двух половинок, висит на двух нитях длиной l (рисунок слева). Какой угол составляет стержень с горизонтом в равновесии, если половинки изготовлены из материалов с плотностями ρ и 2ρ? [примерно 5.5°]

17.40. Проволочный прямоугольный треугольник с углом α = 30° поставлен вертикально. По катетам треугольника без трения могут скользить две бусинки связанные нитью. Массы бусинок равны m1 = 100 г и m2 = 300 г. Определить силу натяжения нити и угол β в положении равновесия (рисунок слева). Будет ли положение равновесия устойчивым? [примерно 79°; примерно 2.65 Н]

17.41. Две гладкие наклонные плоскости наклонены под углами 30° и 60° к горизонту и составляют двугранный угол. В этот угол кладут гладкий однородный стержень (рисунок слева). Какой угол будет составлять стержень с горизонтом в положении равновесия? Будет ли положение равновесия устойчивым? [30°; будет. Указание к решению смотрите в общем файле]

17.42. Однородная балка массой М и длиной L удерживается горизонтально двумя роликовыми упорами и может двигаться в горизонтальном направлении (рисунок слева). Найти минимальную и максимальную силу давления балки на нижний упор, если расстояние между упорами по горизонтали равно l. [смотрите ответ в общем файле]

17.43. Диск насажен на горизонтальный вал. Радиус диска равен R = 20 см, а радиус вала — r = 2 см. Для того, чтобы стащить диск с вала, его нужно тянуть с силой F = 100 Н. Для облегчения этой операции к ободу диска прикладывают касательную силу F1 = 8 Н и одновременно тянут его с силой F2. При каком значении F2 диск начнет сниматься с вала? [60 Н; смотрите указание к решению в общем файле]

17.44. Невесомый стержень длиной l вращается с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси O, проходящей через один из его концов. На другом конце стержня укреплен диск, который катится по горизонтальной поверхности (рисунок слева). Масса диска m, коэффициент трения между диском и поверхностью μ. Найти момент силы на оси O. Ось диска составляет угол α со стержнем. [смотрите указание к решению и ответ в общем файле]

17.45. Тележка приводится в движение пружиной как показано на рисунке слева. В начальном состоянии тележка удерживается нитью, а пружина растянута силой F. Точка крепления пружины к колесу находится на расстоянии l над центром колеса. Радиус колеса тележки равен R, а масса тележки — m. С каким ускорением начнет двигаться тележка, если перерезать нить? Массой колес пренебречь. Считать, что колеса не проскальзывают. [смотрите указание к решению и ответ в общем файле]

17.46. Однородный прямоугольный ящик лежит на гладкой горизонтальной поверхности на двух опорах. Ящик начинают тянуть горизонтальной силой, приложенной в точке A (рисунок слева). Какая из опор при этом сильнее давит на поверхность? А если сила приложена в точке B? [смотрите ответ в общем файле]

17.47. В задаче № 17.46 высота ящика равна a, длина — h, а масса — m. Горизонтальную силу прикладывают сначала в точке A, а затем в точке B. При каком значении силы одна из опор оторвется от поверхности? [смотрите указание к решению и ответ в общем файле]

17.48. Автомобиль имеет две оси, расстояние между которыми равно l. Центр масс автомобиля расположен посередине между осями и на высоте h над землей. Какое максимальное ускорение может развить автомобиль, если ведущая ось: а) задняя; б) передняя? Коэффициент трения между колесами и дорогой равен μ, размерами и массой колес пренебречь. [смотрите указание к решению и ответ в общем файле; также имеется отдельное решение]

17.49. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска, прижатая однородным стержнем. Стержень наклонен к горизонту под углом α, а верхний конец его шарнирно закреплен (рисунок слева). Для того, чтобы вытащить доску из под стержня, к ней надо приложить горизонтальную силу F1, направленную влево, или — F2, направленную вправо. Найти коэффициент трения между доской и стержнем. При каком значении коэффициента трения доску невозможно будет вытащить вправо? [смотрите ответ в общем файле]

17.50. Какой максимальной длины доску можно забить между двумя вертикальными стенами (рисунок слева). Расстояние между стенами равно l, коэффициент трения между ними и доской равен μ, массой доски пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]

17.51. Ящик размерами a×b стоит с одной стороны на колесиках, а с другой — на жестком упоре. Ящик ставят на наклонную плоскость колесиками вниз (рисунок слева). При этом он начинает скатываться, когда угол наклона плоскости равен α = 15°. При каком угле наклона начнет скатываться ящик, если его поставят на наклонную плоскость колесиками вверх? Принять b = a. Размерами колес и упоров пренебречь. [примерно 36.2°]

17.52. Кубик стоит наклонно в углу комнаты (рисунок слева). При каком наименьшем значении угла α возможно такое равновесие, если коэффициент трения везде одинаков и равен μ? [смотрите ответ в общем файле]

17.53. Два одинаковых однородных стержня соединены шарнирно и лежат на гладком горизонтальном цилиндре, радиус которого равен R (рисунок слева). В положении равновесия угол между стержнями равен 90°. Какова длина стержней? Устойчиво ли такое положение равновесия? [ L = 4R; устойчиво]

17.54. Три одинаковых цилиндра сложены вместе и находятся между двумя вертикальными стенами, удерживаясь силами трения (рисунок слева). Считая коэффициент трения везде одинаковым, найти при каком минимальном значении коэффициента трения возможно такое равновесие? [примерно 1.04]

17.55. Три одинаковых цилиндра массой m каждый лежат, как показано на рисунке слева. Поверхность и цилиндры гладкие. Чтобы цилиндры не разъехались, их связали веревкой. Найти силу натяжения веревки. Считать, что нижние цилиндры не давят друг на друга. [смотрите ответ в общем файле]

17.56. Невесомый обруч, к которому прикреплен небольшой грузик, стоит на доске, движущейся с горизонтальным ускорением a (рисунок слева). Угол α известен и постоянен. Найти ускорение. Обруч по доске не скользит. [смотрите указание к решению и ответ в общем файле]

На гладком горизонтальном столе лежит доска



2017-10-14 На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M$, а на ней находится груз массой $m$. К грузу прикреплена невесомая гладкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, закрепленный на доске. Свободный конец нити тянут с силой $\vec$ так, как показано на рис.. При этом отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны, а вся нить располагается в одной вертикальной плоскости. Коэффициент трения груза о доску равен $\mu$. Найти ускорение груза относительно стола.



Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь и лабораторную систему отсчета, относительно которой стол неподвижен, можно считать инерциальной. Кроме того, будем считать, что блок к доске и нить к грузу прикреплены так, что под действием силы $\vec$ может возникнуть лишь поступательное движение этих тел. Поскольку нить является гладкой, то действующие со стороны нити на блок силы не могут иметь составляющей, направленной по касательной к блоку. Полагая, как обычно, что ось, вокруг которой мог бы вращаться блок, совпадает с его геометрической осью, можно утверждать, что при любом натяжении нити блок не будет вращаться. Поэтому, учитывая невесомость нити, можно утверждать, что величина силы натяжения во всех точках нити должна быть одинакова и равна величине приложенной к ее свободному концу силе $\vec$. Следовательно, на груз со стороны нити должна действовать сила, равная $- \vec$. Поскольку нить невесома, то сумма сил, действующих на нее, должна быть равна нулю, а потому, вспоминая третий закон Ньютона, можно утверждать, что со стороны нити на блок должна действовать сила $2 \vec$.

Из условия задачи ясно, что если движение груза по доске и может иметь место, то груз при этом будет двигаться по доске к блоку. Следовательно, сила трения $\vec_$, действующая на груз со стороны доски, может быть направлена только так, как показано на рис.. На этом же рисунке показаны сила $- \vec$, действующая на груз со стороны нити, сила трения $\vec = - \vec_$, действующая на доску со стороны груза, и ось ОХ используемой при решении задачи лабораторной системы отсчета. Поскольку по условию задачи доска находится на гладкой горизонтальной поверхности и толщина доски постоянна, то уравнения движения груза и доски в проекциях на ось ОХ должны иметь вид: $ma_ = f_ - F$ и $MA_ = 2F - f_$, где $a_$ и $A_$ - проекции ускорений груза и доски на ось ОХ.

Учитывая, что груз при указанных условиях не движется по вертикали, иа основании второго закона Ньютона можно утверждать, что величина $N$ нормальной составляющей силы реакции доски на груз равна $mg$, где $g$ - величина ускорения свободного падения. Тангенциальная же составляющая силы реакции доски на груз - сила сухого трения $f_$ - согласно закону Кулона не может быть по модулю больше $\mu N$.

Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте трения груз не будет скользить по доске. Поэтому его ускорение относительно доски будет равно нулю и, следовательно, $A_ = a_$. В этом случае, складывая приведенные выше уравнения движения груза и доски, получим: $A_ = a_ = F/(m + M)$. Поскольку при этом сила сухого трения является силой сухого трения покоя, то ее величина не может превышать своего максимального значения, т.е. $f_ \leq \mu mg$. Из сказанного следует, что груз не будет скользить по доске, если $\mu \geq \mu_ = \frac<(2m + M)F><(m + M)mg>$. Если же $\mu < \mu_$, то, полагая, как обычно, величину коэффициента трения скольжения не зависящей от скорости скольжения и равной максимальному значению коэффициента трения покоя, из приведенных выше соотношений получим: $a_ = \mu g - F/m$. Итак, при выполнении сделанных предположений искомое ускорение груза относительно стола равно:

7.2 Применение законов Ньютона: задачи по динамике с ответами

(Все задачи по динамике и ответы к ним находятся в zip-архиве (186 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

7.25. Для равномерного поднятия груза массой m = 100 кг вверх по наклонной плоскости с углом α = 30° необходимо приложить силу F = 600 Н, направленную вдоль плоскости. С каким ускорением будет скатываться груз, если его отпустить? [ a = 4 м/с 2 ]

7.26. Из одной точки на длинной наклонной плоскости одновременно пускают два тела с одинаковыми скоростями: первое — вверх вдоль плоскости, второе — вниз. Найти отношение расстояний, пройденных телами к моменту остановки первого тела. Трения нет. [ L2/L1 = 3 ]

7.27. Брусок толкнули со скоростью 10 м/с вверх вдоль доски, наклоненной под углом 30° к горизонту. Обратно он вернулся со скоростью 5 м/с. С какой скоростью вернется брусок, если его толкнуть с той же скоростью вдоль той же доски, наклоненной под углом 45° к горизонту? [ v = 6,97 м/с ]

7.28. На вершине равнобедренного клина с углом при основании α= 45° находится невесомый блок, через который перекинута нить. К нити привязаны два бруска с массами m1 и m2. Если бруску m1 сообщить некоторую скорость, направленную вниз, то система остановится через время t1, если с той же скоростью толкнуть вниз брусок m2, то система остановится через время t2. Определить отношение масс m1/m2, если известно, что t1/t2 = 2, а коэффициент трения между брусками и клином равен μ = 0,5. [ m1/m2 ≅ 0.714. Смотрите формулу в общем файле]

7.29. Наклонная плоскость разделена по длине на две равные части. Если тело отпустить без начальной скорости с самого верха, то оно доедет до низа с нулевой скоростью. Каков коэффициент трения между телом и плоскостью на нижней половине плоскости, если на верхней половине он равен μ1? Угол наклона плоскости равен α. [Смотрите ответ в общем файле]

7.30. На наклонной плоскости лежит шайба. Причем коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью μ > tg α, где α — угол наклона плоскости. К шайбе прикладывают горизонтальную силу. При этом шайба начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v1. Найти установившуюся скорость v2 скатывания шайбы с плоскости. [Смотрите ответ в общем файле]

7.31. На гладкой наклонной плоскости (рисунок слева) с углом наклона α лежат два бруска с массами m1 и m2, связанные нитью, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения между брусками равен μ. При каком отношении масс бруски будут неподвижны? [Смотрите ответ в общем файле]

7.32. На наклонной плоскости лежит шайба. Угол наклона плоскости α, коэффициент трения μ, масса шайбы m. Известно, что μ > tg α. Какую горизонтальную силу F, направленную вдоль плоскости, параллельно нижнему ребру, надо приложить к шайбе, чтобы сдвинуть ее с места? [Смотрите ответ в общем файле]

7.33. Клин массой M лежит на горизонтальной плоскости. По его боковой грани, наклоненной под углом α к горизонту, скользит без трения брусок массой m. При каком коэффициенте трения между клином и плоскостью клин будет стоять на месте? [Смотрите ответ в общем файле. Примечание: уточнение к ответу задачи 7.33 смотрите на этой странице в первом комментарии ]

7.34. Тело массой m = 1 кг лежит у основания наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. На тело начинает действовать постоянная сила F, направленная вверх вдоль плоскости. Спустя время to сила прекращает действовать, а спустя еще 3to тело возвращается обратно к основанию плоскости. Определить величину силы F, если трения нет. [ F ≅ 11.4 Н. Смотрите формулу в общем файле]

7.35. На гладкой горизонтальной поверхности лежит гладкий клин массой M с углом наклона α. На клин кладут брусок массой m. С какой горизонтальной силой нужно действовать на брусок, чтобы он не скользил по клину? [Смотрите ответ в общем файле]

7.36. Определить ускорение клина в системе, изображенной на рисунке слева. Трения нет, нить и блок идеальны. Верхний участок нити горизонтален. [Смотрите ответ в общем файле]

7.37. Определить ускорения тел в приведенной системе (рисунок слева). Массы тел одинаковы, коэффициент трения тоже одинаков и равен μ. Нить и блок идеальны. [Смотрите ответ в общем файле]

7.38. Клин с углом наклона α и массой M лежит на горизонтальной поверхности (рисунок слева). На него кладут брусок массой m, к которому привязана нить, перекинутая через блок. С какой горизонтальной силой надо тянуть за нить, чтобы брусок по клину не скользил? Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

7.39. На гладкой горизонтальной поверхности лежит клин массой M с углом при основании α. По клину без трения соскальзывает брусок массой m. Определить ускорение клина. [Смотрите ответ в общем файле]

7.40. Наклонная плоскость длиной l = 1 м наклонена под углом α = 30° к горизонту. Сверху без начальной скорости отпускают небольшое тело. Одновременно снизу вверх вдоль плоскости толкают такое же тело. С какой скоростью необходимо толкнуть нижнее тело, чтобы верхнее после абсолютно упругого столкновения с нижним доехало до своей исходной точки. Трения нет. Одинаковые тела при встречном абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями. [Смотрите ответ в общем файле]

7.41. Два тела, связанные нитью, движутся вниз с ускорением вдвое большим ускорения свободного падения. Во сколько раз сила натяжения нити, за которую тянут тела больше силы натяжения нити, связывающей тела? Масса нижнего тела в три раза больше массы верхнего. [Смотрите ответ в общем файле]

7.42. При какой максимальной силе F верхний брусок еще не будет скользить по нижнему (рисунок слева)? Массы брусков m1 и m2, коэффициент трения между брусками μ, поверхность стола гладкая. [Смотрите ответ в общем файле]

7.43. Какую силу необходимо приложить к нижнему бруску (рисунок слева), чтобы выдернуть его из-под верхнего? Коэффициенты трения для верхнего и нижнего брусков — μ1 и μ2, а их массы m1 и m2. [Смотрите ответ в общем файле]

7.44. Горизонтальная поверхность совершает горизонтальные колебания. При этом в течение времени t поверхность движется с постоянной скоростью и в одном направлении, затем в течение того же времени и с той же скоростью в противоположном направлении и т. д. На поверхность кладут кусочек мела. Коэффициент трения мела о поверхность равен μ. Какой длины след оставит мел на поверхности? [Смотрите ответ в общем файле]

7.45. Тонкое резиновое кольцо жесткостью k и массой m, лежащее на горизонтальной поверхности, начинают медленно раскручивать вокруг его оси. При какой угловой скорости длина кольца увеличится вдвое? При какой угловой скорости кольцо обязательно разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до момента разрыва кольца. [Смотрите ответ в общем файле]

7.46. Если к пружине поочередно подвешивать грузы с массами m1 и m2, то ее длина оказывается равна соответственно l1 и l2. Определить жесткость пружины и ее собственную длину. [Смотрите ответ в общем файле]

7.47. Два шара с массами M и m соединены нитью и подвешены к пружине как показано на рисунке слева. Если перерезать нить в случае а), то шар M придет в движение с ускорением a1. Каково будет ускорение шара m, если перерезать нить в случае б)? [Смотрите ответ в общем файле]

7.48. Два тела с массами m1 и m2 соединены пружиной жесткости k (рисунок слева). На тело m2 начинает действовать постоянная сила F в направлении тела m1. Найти деформацию пружины при установившемся движении. Каким будет ускорение тел сразу после прекращения действия силы? Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

7.49. На горизонтальном столе лежат два одинаковых груза массой m, скрепленных пружиной жесткости k (рисунок слева). К грузам на нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешен третий такой же груз. Найти удлинение пружины при установившемся движении системы. Трения нет. [Смотрите ответ в общем файле]

17.2 Статика: задачи с ответами из сборника Русакова

Читайте также: