Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол

Обновлено: 30.06.2024

Задача 8:

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение:

В этой игре выигрывает первый, независимо от размеров стола! Первым ходом он кладет пятак так, чтобы центры монеты и стола совпали. После этого на каждый ход второго игрока начинающий отвечает симметрично относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока позиция симметрична. Поэтому если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, он побеждает.

Задача 9:

Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение задачи легко провести, применяя осевую симметрию шахматной доски. За ось симметрии можно взять прямую, разделяющую четвертую и пятую горизонтали. Симметричные относительно нее поля имеют разный цвет, и, тем самым, слон, поставленный на одно из них, не препятствует ходу на другое. Итак, в этой игре выигрывает второй игрок.

Задача 10:

Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Решение: В этой игре второй игрок побеждает при помощи симметричной стратегии: каждым своим ходом он должен брать столько же камней, сколько предыдущим ходом взял первый игрок, но из другой кучки. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход.

Задача 11:

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Выигрывает второй. Можно использовать и центральную, и осевую симметрию.

Задача 12:

Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Выигрывает первый. Первый ход в центр доски, а затем – центральная симметрия.

Задача 13:

а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

В обоих пунктах выигрывает первый игрок. а) Осевая симметрия; б) Центральная симметрия. Решающим соображением является то, что если два симметричных поля не побиты, то поля, с которых оба они бьются, также не побиты.

Задача 14:

Дана клетчатая доска 10 × 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1 × 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Выигрывает второй. Центральная симметрия.

Задача 15:

В каждой клетке доски 11 × 11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Выигрывает первый. Первым ходом он снимает центральную шашку, а потом играет центрально-симметрично.

Задача 16:

Имеются две кучки камней: в одной – 30, в другой – 20. За ход разрешается брать любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

Выигрывает первый. Первым ходом он уравнивает количество камней в кучках, после чего играет как в задаче 10.

Задача 17:

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Выигрывает первый. Первым ходом он проводит хорду, по обе стороны от которой расположено по 9 вершин. После этого, на каждый ход второго он отвечает аналогичным ходом по другую сторону от этой хорды.

Задача 18:

У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

В обоих пунктах выигрывает второй игрок. Независимо от хода первого игрока, второй может после своего хода оставить две одинаковые по длине цепочки лепестков. Дальше – симметрия.

Задача 19:

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

а) и б) – выигрывает второй. Центральная симметрия. в) Выигрывает первый. Первым ходом он протыкает ряд, состоящий из центральных кубиков четырех слоев 3 × 3. Дальше – центральная симметрия.

Задача 20:

Двое по очереди разламывают шоколадку 5 × 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1.

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок ширины 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5 × 5. Дальше – симметрия.

Задача 21:

Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник – нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов – это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше – очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

Выигрывает первый. Первым ходом он ставит крестик в центральную клетку. Затем после каждого хода второго игрока первый ставит крестик в центрально-симметричную клетку.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол

В приведённых ниже задачах описаны правила различных игр. Требуется указать выигрышную стратегию для одного из игроков.

Стратегия — это набор правил, по которым игрок должен делать свои ходы в зависимости от ходов противника, чтобы выиграть. Для игрока, делающего первый ход, стратегия должна включать в себя и описание первого хода.

Игры-шутки (исход игры не зависит от ходов противников)

1. В строчку выписано 100 единиц. Кирилл и Даниил по очереди ставят между какими-нибудь двумя соседними единицами знак плюс или минус. Когда между всеми соседними числами поставлены знаки, вычисляется результат. Если полученное число чётно, то выигрывает Кирилл, в противном случае — Даниил. Кто выиграет, если начинает Кирилл?

Решение. Как при прибавлении, так и при вычитании единицы из любого числа чётность этого числа изменяется. Так как было выписано чётное число единиц (100 штук), результат будет чётным вне зависимости от расстановки плюсов и минусов. Действительно, если, двигаясь слева направо, последовательно вычислять значение записанного выражения, то мы будем 100 раз добавлять или вычитать единицу, и чётность изменится 100 раз, то есть сохранится (ведь в самом начале был ноль). Поэтому выиграет Кирилл вне зависимости от ходов противников.

2. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. Двое играют по следующим правилам: за ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными — единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра — единица, то выиграл первый игрок, если двойка — то второй. Кто выиграет?

Решение. Будем следить за суммой чисел, написанных на доске. Заметим, что при каждом ходе она не изменяется, так как либо вычитается чётное число и прибавляется двойка, либо вычитается нечётное число и прибавляется единица. Поскольку вначале сумма чисел была чётной, то последняя цифра, оставшаяся на доске, чётна, то есть это двойка. Поэтому выигрывает второй игрок.

3. Маша и Ваня по очереди ломают шоколадку «Алёнка» размером 6×8. За один ход можно сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет, если первый разлом делает Маша?

Решение. Первоначально шоколадка состояла из одного куска. После каждого хода количество кусков увеличивается на один. В конце игры стало 48 кусков, поэтому было сделано 47 разломов, то есть нечётное число. Так как Маша делает каждый нечётный разлом, то она сделает и последний ход, поэтому выиграет.

Симметричные стратегии

4. Остап Бендер провел сеанс одновременной игры в шахматы с двумя гроссмейстерами, причем с одним из соперников он играл чёрными фигурами, а с другим — белыми. За этот сеанс Остап получил 1 очко. (За победу в шахматной партии дается 1 очко, за ничью пол-очка, за поражение — 0 очков.) Как он смог этого добиться?

Решение. Первым ходил соперник Остапа, играющий белыми. После этого Остап повторил его ход на другой доске. Таким образом, в каждой из партий Остап Бендер повторял ходы соперника из другой партии. Фактически гроссмейстеры играли друг с другом на разных досках. Если один из соперников Бендера получил 1 очко, то Бендер получил 1 очко в партии с другим. В случае ничьей каждый игрок получил за каждую сыгранную партию по 0,5 очка, а тогда и Бендер в сумме набрал 0,5 + 0,5 = 1 очко.

5. а) Имеются две кучки по 10 спичек. Двое по очереди берут спички, причём за один ход разрешается брать любое количество спичек, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? б) А если в одной кучке 20, а в другой 30 спичек?

а) Выигрышная стратегия для второго игрока: брать из кучки, нетронутой первым на предыдущем ходе, столько же спичек, сколько взял до этого первый.

б) Выигрышная стратегия для первого игрока: первым ходом взять из большей кучки 10 спичек, а затем воспользоваться стратегией из преды-дущего пункта.

6. В каждой клетке доски 7×7 стоит шашка. Двое по очереди снимают с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку. Укажите выигрышную стратегию для первого игрока.

Решение. Первым ходом необходимо снять шашку из центра доски, а затем делать ходы, симметричные относительно центра доски ходам второго игрока.

7. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Решение. Первый игрок первым ходом кладет пятак в центр стола. Затем делает ходы симметрично ходам первого относительно центра стола. Поэтому первый всегда сможет сделать ответный ход.

Другие стратегии (удачное соответствие, решение с конца)

8. а) В кучке лежит 20 карандашей. Каляка и Маляка по очереди берут карандаши из кучки. За один ход разрешается взять от 1 до 4 карандашей. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет, если начинает игру Каляка? б) А если за один ход разрешается брать от 1 до 5 карандашей?

а) Выигрышная стратегия для Маляки: если Каляка берет a карандашей, то следующим ходом Маляка берет (5− a ) карандашей. Так как после каждой пары ходов количество карандашей в кучке уменьшается на 5, а 20 делится на 5, то через 4 пары ходов Маляка выиграет.

б) Выигрышная стратегия для Каляки: первым ходом взять 2 карандаша, чтобы оставшееся количество карандашей делилось на 6. Следующие ходы Каляка делает по правилу: если Маляка берет a карандашей, то следующим ходом Каляка берет (6− a карандашей).

После трёхкратного применения этого правила Каляка выигрывает.

9. В кучке 25 камней. Двое по очереди берут из кучки 2, 4 или 7 камней. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение. Выигрывает первый. Первым ходом он должен взять 4 камня, а далее действовать по приведённой ниже схеме. (указано количество камней, остающихся в куче после того, как игрок сделает очередной ход).

Игры, использующие симметрию.

1).Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга и не выступали за край стола. Про­игрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Решение. Нам нужно найти такую последовательность ходов, которая позволила бы, глядя на ходы сопер­ника, делать ходы, которые привели бы к победе. Как же ходить после хода соперника? Стол круглый, поэтому первый ход так и просится — положить пятак в центр доски. А дальше? А дальше — по симметрии, относительно центра стола! И понятно, что первый выиграет.

Можно отметить, что если доска обладает центром симметрии (и не обязательно круглая), тогда первый сможет выиграть на ней действуя аналогичным образом: ставя свою фишку или монету в центр стола, а затем используя центральную симметрию.

Кстати, а нельзя ли было решить и первую задачу (при условиях когда шоколадка размерами 6 х 8), используя симметрию?

Да, можно. Первый ломает шоколадку на две равные части и после хода противника делает точно такой же разлом оставшейся нетронутой равной части шоколадки.

Заметим, что симметрия бывает не только центральной, но и осевой. Рассмотрим одну из таких задач.

2).Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски 8x8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Решение. Здесь нет центральной клетки. А если бы и была, по­ставить симметрично относительно нее слона мы не можем, так как тогда слон вставал на поле, которое бьется слоном, который поставил соперник.

Но шахматная доска обладает другим свойством симмет­рии. У нее целых четыре оси симметрии. Используем симметрию относительно оси, которая проходит параллельно одной из сторон доски. Тогда, ставя своего слона симметрично относительно этой оси слону, поставленному первым игроком, выигрывает второй игрок.

Рассмотрим следующую задачу.

3).Имеется две кучки камней — по 7 в каждой. За ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Решение. Сначала опять используем метод малых задач.

Начнем игру с двух кучек, в каждой из которых по одному камню. Тогда, понятно, что первый проигрывает.

Если мы добавим в одну из кучек еще один камень, тогда понятно, что победит начинающий: он первым своим ходом возьмет из кучки, где два камня, один камень и получит позицию, которая получилась в рассмотренном выше случае, только сейчас он уже второй.

Если в кучках 3 и 1 камень, тогда вновь побеждает игрок, начинаю­щий игру: он уравнивает число камней в кучках, т. е. берет два камня и получает, что число камней в кучках будет 1 и 1. И эта позиция, как уже рассматривалось выше, выигрышная для него.

Если число камней в кучках по 2, тогда вновь проигрывает начи­нающий: на любой его ход, противника может взять такое же число камней из другой кучки, которую первый игрок не тронул.

Сейчас несложно понять, как действовать игроку, делающему вто­рой ход, чтобы победить в данной игре: он должен делать точно такие же ходы, как и первый, но только убирать камни он должен из той кучки, которую не тронул последним ходом его противник.

Как несложно понять, у победителя всегда есть ход после хода про­тивника.

Несложно понять и общую стратегию выигрывающего, когда в куч­ках произвольное число камней:

· если число камней в кучках равное, то необходимо уравнивать число камней в кучках после хода начинающего, выполняя симметричные ходы. Выигрывает второй игрок.

· если же число камней в кучках неравное, тогда начинающий своим ходом уравнивает число камней в кучках и далее действует так же как, как и в первом случае. Здесь побеждает игрок, делающий первый ход.

В данной игре симметрия несколько необычная — вроде бы и не симметрия вовсе, однако, равенство камней в кучках, и «одинаковые» ходы, проводимые игроками очень ее напоминают.

4).Двое по очереди разламывают шоколадку 5 х 10. За ход можно сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1x1. Кто выиграет при правильной игре с обеих сторон?

Решение. Здесь идея использования сим­метрии очевидна. Ломаем шоколадку пополам, а далее первый из иг­рающих «повторяет» ход второго игрока на равном куске, который не тронул своим ходом его соперник.

Повторение это длится до тех пор, пока после хода второго игрока не получится полоска вида 1 х k. Тогда первый отламывает от него кусочек 1 х 1 и выигрывает.

Понятно, что у первого игрока есть ход.

5).На окружности расставлено 20 точек. За ход можно соединить любые две отрезком, не пересекающим отрезки, проведенные ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правиль­ной игре?

Решение. Понятно, что сначала можно рас­положить точки на окружности так, как нам будет удобнее. Когда же мы расположим точки в вершинах правильного 20-угольника, то идея ис­пользования в решении симметрии сразу становится понятной. И пер­вый отрезок можно провести таким образом, чтобы он делил нашу окружность пополам. А далее начинающий игрок отвечает строго по симметрии, относительно проведенного диаметра.

Отметим, что при решении задачи использовался новый прием, ко­торый называется «метод удобных фигур», т. е. сначала мы искали реше­ние на удобной позиции, когда точки были в вершинах правильного 20-угольника.

Основные научные достижения Средневековья: Ситуация в средневековой науке стала меняться к лучшему с.

Задачи и функции аптечной организации: Аптеки классифицируют на обслуживающие население; они могут быть.

Эталон единицы силы электрического тока: Эталон – это средство измерения, обеспечивающее воспроизведение и хранение.

Поиск по сайту

Математические задачи


Четыpе стакана поставлены квеpху дном в четыpёх углах вpащающегося квадpатного стола. Вы хотите пеpевеpнуть их в одну стоpону: или все ввеpх или все вниз. Вы можете взять любые два стакана, и должны пеpевеpнуть один или два из них . Есть два условия: у вас завязаны глаза, и стол повоpачивается на произвольное число оборотов каждый pаз, когда вы дотpагиваетесь до стаканов. Так что вы будете делать?

Ответ: Шаг 1. Меняем нижние два стакана. Оборот стола.
Шаг 2. Меняем диагональ слева вверху и справа внизу (менять надо один из стаканов вверх или вниз, смотря куда вам изначально надо). Оборот стола.
Шаг 3. Повторяем замену, как в шаге 2. Т.е. если у вас два разнонаправленных стакана, то меняете один из них, и вы - победитель. Если стаканы одной направленности, то меняйте их оба и меняйте направление перестановки (хотели ставить дном вниз, теперь хотим ставить дном вверх - условия задачи позволяют). Повторяем до победного.

Спасение семейства

Король, его сын принц и дочь принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно. Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение. Естественно как только одна корзина становилась тяжелее другой она опускалась. Однако если разница в весе превышает 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз. Единственное что помогло бы пленникам бежать из плена, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов - его можно было попытаться использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?

Ответ: 1. Спускается принцесса, используя ядро в качестве противовеса.

2. Принцеса достигнув земли не вылезает из корзины. Принц занимает место ядра и спускается вниз, используя принцессу в качестве противовеса.

3. Принцесса поднялась вверх и вместе с королем положила в корзину ядро.

4. В опустившуюся корзину с ядром садится принц, что позволяет опустить короля.

5. Когда король оказался на земле, принц с ядром оказался наверху. Принц вылез из корзины и корзина с ядром опустилась вниз.

6. В пустую корзину у темницы садится принцесса и спускается на землю.

7. Принц вытаскивает ядро из поднявшейся корзины и спускается сам, исспотльзуя принцессу как противовес.

8. Принцесса опускает в пустой корзине ядро, а сама садится в поднявшуюся и спускается, используя ядро в качестве противовеса.

Переправа, переправа

Ответ: Первыми переходят мама и папа (2 мин), папа возвращается (1 мин), переходят сын и бабушка (10 мин), мама возвращается (2 мин), переходят папа и мама.

Игра с пятаками

Два игрока кладут по очереди пятаки на круглый стол так, чтобы пятаки не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не сможет положить пятака. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен для этого играть?

Ответ: При правильной игре выигрывает начинающий. Его стратегия: первым ходом он кладет пятак в центр стола. Каждым следующим своим ходом он кладет пятак симметрично пятаку, положенному вторым игроком относительно центра стола, Таким образом, если сможет сделать ход "второй" игрок, то может сделать ход и "первый". Так как после каждого хода "свободная" поверхность стола уменьшается, то наступит момент, когда второй не сможет сделать ход и проиграет.

Восемь монет

Над этой хитрой задачкой будут долго думать твои друзья. Если знать секрет, все очень просто, но найти правильное решение без подсказки действительно трудно. Но тебе, возможно, повезет - попробуй решить задачу самостоятельно, прежде чем посмотришь ответ.
Нужно положить восемь монет на стол в один ряд, вот так:
За один ход ты берешь одну монету, переносишь ее через две соседние монеты (монеты, а не стопки!) и кладешь на третью.
За четыре хода должны получиться четыре стопки по две монеты в каждой.

Ответ: Секрет здесь в том, что надо начинать с монеты №4 - положить ее на №7, или же с монеты №5 - положить ее на монету №2. Дальше все довольно просто - попробуй, и увидишь.

Читайте также: