Брусок покоящийся на горизонтальном столе и пружинный маятник состоящий из грузика и легкой пружины
Обновлено: 15.05.2024
Готовимся к сдаче Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по физике: колебания и волны
"Знать физику – означает уметь решать задачи".
Э. Ферми
Продолжая рубрику подготовки выпускников школы к сдаче Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по физике, знакомим учащихся с задачами части С ЕГЭ рассматривающими колебательное движение тела. Если первые две сессии настоящего учебного года были посвящена методам решения задач с применением законов кинематики и динамики вращательного движения материальной точки, то в продолжение темы в рамках данной сессии предлагаем обзор задач, аккумулирующий в себе законы как кинематики, так и динамики, а также энергетический подход к анализу особого вида движения – колебательного. Особенностью настоящего подбора задач является то, что для решения их необходимо использовать законы практически из всех разделов физики. Обратите внимание, что колебания рассматриваются как в воздухе, так и в плотной среде (в жидкости), как в одном только гравитационном поле, так и в пространстве, где, наряду с гравитационным, существуют магнитное и электрическое поля. Сами колебания тоже довольно разнообразны по своей природе: это и колебания математического маятника, и упругие колебания (пружинный маятник), и колебания заряженного тела в электрическом поле, и электромагнитные колебания в колебательном контуре. Разбирая решения задач на предложенную тему, вы имеете уникальную возможность еще раз повторить весь курс физики, все основные законы физики.
Вашему вниманию предлагаются задачи с возможным вариантом решения и подобные по условию задачи без решения, но с предполагаемым ответом. Итак,…
Колебания и волны
Примеры решения задач, включенных в разные годы в часть С Единого государственного экзамена по физике
З Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,3. Отношение массы бруска к массе грузика равно 8. Грузик маятника совершает колебания с частотой 2 Гц вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Какова максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими?
Образец возможного решения
М - масса бруска;
μ - коэффициент трения между бруском и столом;
m - масса грузика пружинного маятника;
k - жесткость пружины маятника;
А - амплитуда колебаний пружинного маятника;
ν - частота колебаний пружинного маятника.
Удлинение пружины при равновесии маятника: x0 =.
Частота гармонических колебаний пружинного маятника: ν =.
Колебания грузика остаются гармоническими, если совместно выполнены два условия.
1) Верхний конец пружины в процессе колебаний неподвижен.
2) Пружина и нить все время натянуты, поэтому грузик нигде не переходит в режим свободного падения.
Из первого условия следует, что в крайнем нижнем положении грузика, когда удлинение пружины равно x0 + А, сила натяжения нити, равная по модулю упругой силе пружины, недостаточна для того, чтобы сдвинуть брусок:
Fynp = k(x0 + А) = mg + kA ≤ μMg. Отсюда A ≤ (μM - m) = (μ- 1)
В нашем случае отсюда получаем А ≤ 8,9 см.
Из второго условия следует, что в крайнем верхнем положении грузика, когда удлинение пружины равно (х0 – А), пружина растянута или не напряжена, но не сжата, откуда А ≤ x0 ==. В нашем случае отсюда получаем А ≤ 6,3 см.
Колебания грузика будут гармоническими при совместном выполнении этих условий: Amax = 6,3 cм.
Задача 1'. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Грузик маятника совершает колебания с частотой 2,5 Гц вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4,0 см. Отношение массы бруска к массе грузика равно 10. Чему равно минимальное значение коэффициента трения между основанием бруска и поверхностью стола?
Образец возможного решения. Удлинение пружины при равновесии маятника: x0=. Частота гармонических колебании пружинного маятника: ν =.
1). Верхний конец пружины в процессе колебаний неподвижен.
2). Пружина и нить все время натянуты, поэтому грузик нигде не переходит в режим свободного падения.
Fynp = k(x0 + А) = mg + kA ≤ μMg. Отсюда A ≤ (μM - m) = (μ- 1).
Из второго условия следует, что в крайнем верхнем положении грузика, когда удлинение пружины равно х0 - А, пружина растянута или не напряжена, но не сжата, откуда А ≤ x0 ==.
Подставляя данные из условия задачи, получаем Аmах= 4,0 см. Это совпадает с заданным в условии значением Аmах. Следовательно, максимальная амплитуда колебаний определяется вторым условием, то есть первое условие не сильнее второго. Это означает, что ≤ (μ- 1), откуда μ ≥2= 0,2.
Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные
В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.
Задача 1.
Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна Н/м, жесткость нижней Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?
Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:
Здесь - сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. - сила упругости нижней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.
При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: . Следовательно,
Задача 2.
К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны Н/м и Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?
Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,
Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.
Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость
Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.
Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.
Ответ: а) 2 кг; б)1,3 кг.
Задача 3.
Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс ? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.
Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов и соответственно. Первый поднимется при этом на высоту , а второй – на высоту . Определим эти высоты:
По закону сохранения импульса
Возведем в квадрат:
Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что
Подставим выражения, полученные вначале:
Задача 4.
Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?
Координата грузика при колебаниях может быть записана как
Запишем второй закон Ньютона для грузика:
Запишем второй закон Ньютона для бруска:
Сила трения скольжения равна
Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:
Откуда отношение масс равно
Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:
Максимальное ускорение равно
Подставим это ускорение в полученное отношение масс:
Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой г проходит по стволу ружья расстояние , вылетает и падает на расстоянии м от дула ружья в точку , находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.
Определим скорость шарика при вылете из ружья .
По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью :
По вертикали шарик будет иметь начальную скорость , и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:
Тогда время полета до максимальной точки подъема
Откуда скорость равна
Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:
Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:
Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. .
Брусок покоящийся на горизонтальном столе и пружинный маятник состоящий из грузика и легкой пружины
С2-1. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Какова максимальная скорость груза?
С2-2. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом равно 10 м/с 2 . Какова максимальная скорость груза?
С2-3. Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A sin 2πt/T, где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника достигнет половины своего максимума?
С2-4. Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10 -2 м 2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м 3 и 1000 кг/м 3 (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний π/5 с.
С2-5. Шарик массой m = 0,1 кг на нити длиной L = 0,4 м раскачивают так, что каждый раз, когда шарик проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t = 0,01 с действует сила F = 0,1 Н, направленная параллельно скорости. Через сколько полных колебаний шарик на нити отклонится на 60°?
С2-6. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,2. Отношение массы бруска к массе грузика равно 8. Грузик маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Какова максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими?
С2-7. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска M, коэффициент трения между бруском и поверхностью μ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
С2-8. В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска M, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью μ. Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
С2-9. На планете Плюк местный школьник решил определить ускорение свободного падения g. Он взял чашу со сферическим очень скользким дном радиуса кривизны R и положил неподалеку от нижней точки О дна маленькую монету (см. рисунок). Монета стала совершать колебания около точки О с циклической частотой 4 с -1 . Согласно расчетам школьника на планете Плюк g = 8 м/с 2 . Определите значение R.
С2-10. Маятник с чернильницей укреплен на игрушечном автомобиле и колеблется в плоскости, перпендикулярной равномерному движению автомобиля. Длина маятника равна 0,1 м. Чернильница оставила на столе след, показанный на рисунке. Чему равна скорость автомобиля?
С2.11. Нить маятника длиной l = 1 м, к которой подвешен груз массы m = 0,1 кг, отклонена на угол α от вертикального положения и отпущена. Сила натяжения нити Т в момент прохождения маятником положения равновесия равна 2 Н. Чему равен угол α?
Читайте также: